 求解「分糖果給小朋友 II」)
科學計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載導讀本文以 leetcode/biweekly/117/b/README.md 為骨架完整還原力扣第 117 場雙周賽第二題「分糖果給小朋友 IIDistribute Candies Among Children II」的數(shù)學解法先用隔板法統(tǒng)計無上限約束的所有分配方案數(shù)再用容斥原理剔除至少一個小朋友分到的糖果超過 limit的非法方案最終得到一個可直接套用的組合數(shù)公式。讀完本文你將掌握無區(qū)別物體放入有區(qū)別盒子的組合計數(shù)建模、三集合容斥的逐步推導技巧以及如何在 codeforces-go 倉庫中一行代碼落地該公式并借助倉庫自帶的測試框架驗證正確性。一、問題背景題目在倉庫中的位置與題面重述該題解位于倉庫的 leetcode/biweekly/117/b/README.md對應的可運行實現(xiàn)是 leetcode/biweekly/117/b/b.go。從測試文件 b_test.go 末尾的注釋可以確認本題對應力扣題目distribute-candies-among-children-ii。題面可重述為有 $n$ 顆無區(qū)別的糖果要全部分給 $3$ 個有區(qū)別的小朋友 $A,B,C$且每個小朋友分到的糖果數(shù)不超過$\textit{limit}$ 顆求合法的分配方案數(shù)。值得一提的是同一場雙周賽的第一題「分糖果給小朋友 I」共享完全相同的思路第一題實現(xiàn)位于 leetcode/biweekly/117/a/a.go。兩版代碼的唯一差別在于返回值類型I 版的 $n$ 范圍較小返回intII 版的 $n$ 范圍更大返回int64以避免組合數(shù)運算中間結(jié)果溢出。這也是同一個數(shù)學模型因數(shù)據(jù)范圍不同需要調(diào)整數(shù)值類型的典型工程案例。二、問題建模轉(zhuǎn)化為小球入盒的組合計數(shù)把 $n$ 顆無區(qū)別糖果看成 $n$ 個無區(qū)別的小球把 3 個小朋友看成 3 個有區(qū)別的盒子。合法方案數(shù)即為把 $n$ 個無區(qū)別小球放入 3 個有區(qū)別盒子允許空盒且每個盒子的小球數(shù)不超過 $\textit{limit}$ 的方案數(shù)。求解思路采用正難則反$$ \text{合法方案數(shù)} \text{所有方案數(shù)} - \text{不合法方案數(shù)} $$其中不合法指至少一個小朋友分到的糖果超過 $\textit{limit}$。三、第一步用隔板法求所有方案數(shù)在沒有 $\textit{limit}$ 限制時問題退化為經(jīng)典組合計數(shù)$n$ 個無區(qū)別小球放入 $3$ 個有區(qū)別盒子、允許空盒的方案數(shù)。隔板法是標準工具把 $n$ 個球排成一列在它們之間及兩端共 $n1$ 個空隙中插入 $2$ 個隔板用隔板把球分成三段依次對應三個盒子。等價地可理解為 $n$ 個球與 $2$ 個隔板共 $n2$ 個位置從中選出 $2$ 個位置放隔板其余位置放球第一個隔板之前的球進第 1 個盒子第一個隔板與第二個隔板之間的球進第 2 個盒子第二個隔板之后的球進第 3 個盒子。因此所有方案數(shù)為$$ \binom{n2}{2} $$隔板法天然覆蓋了空盒情形隔板可以放在最左端第 1 個盒子為空、最右端第 3 個盒子為空兩個隔板也可以相鄰第 2 個盒子為空均對應一種合法擺放方式無需單獨討論。邊界提示組合數(shù) $\binom{n2}{2}$ 恒有意義$n \geqslant 0$但后續(xù)容斥項中的參數(shù)可能變成負數(shù)需要借助當 $x 2$ 時 $\binom{x}{2}0$的約定來統(tǒng)一處理詳見第六節(jié)。四、第二步用容斥原理逐層統(tǒng)計不合法方案設 $A,B,C$ 分別表示小朋友 $A/B/C$ 分到的糖果超過 $\textit{limit}$這一事件不合法方案數(shù)即 $|A \cup B \cup C|$用容斥原理展開為$$ |A \cup B \cup C| |A||B||C| - |A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| |A\cap B\cap C| $$4.1 至少一個小朋友超過 limit$|A||B||C|$先只看 $A$。若 $A$ 分到的糖果超過 $\textit{limit}$則先固定分給他 $\textit{limit}1$ 顆剩余 $n-(\textit{limit}1)$ 顆糖果仍然可以隨意分給 3 個小朋友包括繼續(xù)分給 $A$這一點至關重要下文單獨強調(diào)于是方案數(shù)為$$ \binom{n-(\textit{limit}1)2}{2} \binom{n-\textit{limit}1}{2} $$$B$、$C$ 的情形完全對稱三者相加得 $3\cdot\binom{n-\textit{limit}1}{2}$。由于這三個集合兩兩相交直接相加會重復統(tǒng)計至少兩個小朋友超過 limit的方案故需進入下一步扣除。?易錯點固定分給 $A$ 的 $\textit{limit}1$ 顆之后剩余糖果依然可以繼續(xù)分給 $A$。也就是說先分給他 limit1 顆只是為了保證該方案至少超過 limit 一次并不代表總共只分給他 limit1 顆遺漏這一點會漏計大量方案。4.2 至少兩個小朋友超過 limit$|A\cap B||A\cap C||B\cap C|$只看 $A$ 和 $B$。若兩者都超過 $\textit{limit}$先固定分給他們各 $\textit{limit}1$ 顆即共 $2\cdot(\textit{limit}1)$ 顆剩余 $n-2\cdot(\textit{limit}1)$ 顆隨意分配給 3 人$C$ 是否超過 limit 不予關注方案數(shù)為$$ \binom{n-2\cdot(\textit{limit}1)2}{2} \binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2} $$三組配對 $(A,B),(A,C),(B,C)$ 對稱相加得 $3\cdot\binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2}$。但這里又重復統(tǒng)計了三個小朋友均超過 limit的方案三個集合的交集被三組兩兩交集各統(tǒng)計一次因此還需要最后一步修正。4.3 三個小朋友均超過 limit$|A\cap B\cap C|$先固定分給三人共 $3\cdot(\textit{limit}1)$ 顆剩余 $n-3\cdot(\textit{limit}1)$ 顆隨意分配方案數(shù)為$$ \binom{n-3\cdot(\textit{limit}1)2}{2} \binom{n-3\cdot\textit{limit}-1}{2} $$4.4 容斥匯總將各層按奇加偶減合并不合法方案數(shù)為$$ 3\cdot\binom{n-\textit{limit}1}{2} - 3\cdot\binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2} \binom{n-3\cdot\textit{limit}-1}{2} $$再用所有方案數(shù)減去它即得最終答案公式$$ \boxed{\binom{n2}{2} - 3\cdot\binom{n-\textit{limit}1}{2} 3\cdot\binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2} - \binom{n-3\cdot\textit{limit}-1}{2}} $$這也印證了題解中至少一個 ? (至少兩個 ? 三個) 至少一個 ? 至少兩個 三個的歸納三個集合的容斥最終表現(xiàn)為四個組合數(shù)的交錯和其本質(zhì)就是標準的 3 集合容斥展開。五、最終公式的多語言實現(xiàn)題解為 Python3、Java、C、C、Go、JavaScript、Rust 提供了完全同構的七份實現(xiàn)。其公共要點是定義輔助函數(shù) $c_2(x)$$$ c_2(x)\begin{cases}\frac{x(x-1)}{2} x1\ 0 x\leqslant 1\end{cases} $$即當 $x2$ 時組合數(shù) $\binom{x}{2}0$——這正是處理剩余糖果為負這類越界參數(shù)的關鍵。以倉庫實際使用的 Go 實現(xiàn)為例與 b.go 逐行一致func c2(n int) int64 { if n 2 { return 0 } return int64(n) * int64(n-1) / 2 } func distributeCandies(n int, limit int) int64 { return c2(n2) - 3*c2(n-limit1) 3*c2(n-2*limit) - c2(n-3*limit-1) }Python 參考實現(xiàn)同樣簡潔def c2(n: int) - int: return n * (n - 1) // 2 if n 1 else 0 class Solution: def distributeCandies(self, n: int, limit: int) - int: return c2(n 2) - 3 * c2(n - limit 1) 3 * c2(n - 2 * limit) - c2(n - 3 * limit - 1)其余語言Java/C/C/JavaScript/Rust的寫法與上述完全等價僅語法與整數(shù)溢出保護策略不同C/C 使用long longJava 使用longRust 顯式做as i64轉(zhuǎn)換目的都是在乘法n*(n-1)前提升到 64 位整數(shù)避免中間結(jié)果溢出。六、復雜度分析與數(shù)值邊界時間復雜度$\mathcal{O}(1)$——每個組合數(shù)由一次乘法、一次減法、一次除法直接算出不依賴 $n$ 的大小?？臻g復雜度$\mathcal{O}(1)$——僅使用常數(shù)個變量。數(shù)值邊界方面需要注意兩點負數(shù)參數(shù)的組合數(shù)約定當 $n$ 較小時容斥項如 $n-2\cdot\textit{limit}$ 甚至 $n-3\cdot\textit{limit}-1$ 會變成負數(shù)此時約定 $\binom{x}{2}0$由c2的n 2分支統(tǒng)一處理。例如 $n5, \textit{limit}2$ 時后兩項參數(shù)分別為 $1$ 和 $-2$均返回 0。整數(shù)類型選擇$n$ 可達到 $10^6$ 量級時$n^2$ 已達 $10^{12}$超過 32 位int上限因此 II 版題解b.go的c2返回int64這正是它與 I 版a.go返回int的唯一實現(xiàn)差異。七、倉庫內(nèi)的測試驗證從公式到可運行用例該倉庫為每道題配套了題解 實現(xiàn) 輸入數(shù)據(jù) 測試四件套本題的驗證閉環(huán)如下實現(xiàn)b.go 提供distributeCandies函數(shù)輸入數(shù)據(jù)b.txt 按每 3 行一組存放測試用例2 個輸入?yún)?shù) 1 個預期輸出共兩組n5, limit2期望輸出3n3, limit3期望輸出10。測試入口b_test.go 調(diào)用testutil.RunLeetCodeFuncWithFile(t, distributeCandies, b.txt, targetCaseNum)驅(qū)動驗證?？墒止を炈銉山M數(shù)據(jù)印證公式正確性$n5,\ \textit{limit}2$$\binom{7}{2}-3\binom{4}{2}3\binom{1}{2}-\binom{-2}{2}21-180-03$ ?枚舉可得 3 種分配$(3,1,1)$ 的三組排列$n3,\ \textit{limit}3$每人上限 3 顆而總共只有 3 顆所有方案天然合法$\binom{5}{2}10$ ?即 $xyz3$ 的非負整數(shù)解個數(shù)。測試驅(qū)動層位于 leetcode/testutil/leetcode.go 的RunLeetCodeFuncWithFile它讀取b.txt按函數(shù)簽名NumIn NumOut行一組解析輸入與期望輸出再用反射逐組調(diào)用被測函數(shù)并比對結(jié)果而 RunLeetCodeFuncWithExamples 會在運行單個用例后自動繼續(xù)跑完全部用例并支持-1表示最后一個用例、檢測超時TLE等細節(jié)是倉庫所有 LeetCode 題解共用的通用測試設施。若在 leetcode/biweekly/117/b 目錄執(zhí)行go test即可一鍵跑通上述全部驗證。八、思維延伸從分糖果到更廣的容斥應用本題是三集合容斥 隔板法的教科書級組合隔板法負責無約束計數(shù)容斥負責處理上界約束二者各司其職。同場雙周賽的第三題 README.md 是同一套思想的另一形態(tài)——統(tǒng)計恰好包含 1 個l、1 個t、2 個e的長度為 $n$ 的字符串個數(shù)同樣以正難則反構造三個違規(guī)條件并用容斥展開最終化簡為四個快速冪項的交錯和$\mathcal{O}(\log n)$。對照閱讀這兩份題解可以清晰看到容斥原理這一數(shù)學工具的兩種典型落地形態(tài)一者是組合數(shù)求和一者是快速冪求和。若想在類似題目中復用本文方法建議遵循三步套路先建模為無區(qū)別物體入有區(qū)別盒子再寫出無約束方案數(shù)最后按違規(guī)條件個數(shù)分層套用容斥把每一層先固定越界部分、剩余任意分配的計數(shù)模式即 $\binom{\cdot}{2}$提煉出來?？偨Y(jié)本文從 leetcode/biweekly/117/b/README.md 出發(fā)完整推導了分糖果給小朋友 II的 $\mathcal{O}(1)$ 公式隔板法給出基準 $\binom{n2}{2}$三集合容斥給出修正項 $-3\binom{n-\textit{limit}1}{2}3\binom{n-2\textit{limit}}{2}-\binom{n-3\textit{limit}-1}{2}$并給出了 Python/Java/C/C/Go/JavaScript/Rust 七種語言的等價實現(xiàn)。同時結(jié)合倉庫內(nèi) b.go、b.txt、b_test.go 與通用測試框架 leetcode/testutil/leetcode.go用兩組可運行用例驗證了公式的正確性。理解隔板法計數(shù) 容斥修正這套組合拳即可舉一反三地解決帶個體上限的整數(shù)拆分計數(shù)這一大類組合問題。贊分享科學計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載相關推薦分錢給最多孩子雙周賽 100 首題O(1) 解法數(shù)學推導、四語言實現(xiàn)與 codeforces-go 倉庫工程實踐分錢給最多孩子雙周賽 100 首題O 1 解法數(shù)學推導、四語言實現(xiàn)與 codeforces go 倉庫工程實踐 本篇文章以靈茶山艾府算法競賽模板庫 cod科學計算cdp高級用法如何實現(xiàn)Headless Chrome的并發(fā)控制cdp高級用法如何實現(xiàn)Headless Chrome的并發(fā)控制 在現(xiàn)代Web開發(fā)和自動化測試中Headless Chrome已成為不可或缺的工具。而使用GoLeetCode-Go 題解 135Candy 分發(fā)糖果的雙向貪心掃描算法深度解析LeetCode Go 題解 135Candy 分發(fā)糖果的雙向貪心掃描算法深度解析 導讀 LeetCode 第 135 題「Candy分發(fā)糖果」是一道經(jīng)示例工程上一篇Comprehensive Rust 精講可變靜態(tài)變量static mut為何需要 unsafe以及如何在 no_std 低層代碼中安全使用下一篇將 REST API 通過 Azure API Management 發(fā)布為 MCP Server從創(chuàng)建、限流策略到 Copilot Agent 調(diào)用全指南創(chuàng)作聲明：本文部分內(nèi)容由AI輔助生成（AIGC），僅供參考 codeforces-go 倉庫題解深度解析：用隔板法與容斥原理 O(1) 求解「分糖果給小朋友 II」
科學計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載導讀本文以 leetcode/biweekly/117/b/README.md 為骨架完整還原力扣第 117 場雙周賽第二題「分糖果給小朋友 IIDistribute Candies Among Children II」的數(shù)學解法先用隔板法統(tǒng)計無上限約束的所有分配方案數(shù)再用容斥原理剔除至少一個小朋友分到的糖果超過 limit的非法方案最終得到一個可直接套用的組合數(shù)公式。讀完本文你將掌握無區(qū)別物體放入有區(qū)別盒子的組合計數(shù)建模、三集合容斥的逐步推導技巧以及如何在 codeforces-go 倉庫中一行代碼落地該公式并借助倉庫自帶的測試框架驗證正確性。一、問題背景題目在倉庫中的位置與題面重述該題解位于倉庫的 leetcode/biweekly/117/b/README.md對應的可運行實現(xiàn)是 leetcode/biweekly/117/b/b.go。從測試文件 b_test.go 末尾的注釋可以確認本題對應力扣題目distribute-candies-among-children-ii。題面可重述為有 $n$ 顆無區(qū)別的糖果要全部分給 $3$ 個有區(qū)別的小朋友 $A,B,C$且每個小朋友分到的糖果數(shù)不超過$\textit{limit}$ 顆求合法的分配方案數(shù)。值得一提的是同一場雙周賽的第一題「分糖果給小朋友 I」共享完全相同的思路第一題實現(xiàn)位于 leetcode/biweekly/117/a/a.go。兩版代碼的唯一差別在于返回值類型I 版的 $n$ 范圍較小返回intII 版的 $n$ 范圍更大返回int64以避免組合數(shù)運算中間結(jié)果溢出。這也是同一個數(shù)學模型因數(shù)據(jù)范圍不同需要調(diào)整數(shù)值類型的典型工程案例。二、問題建模轉(zhuǎn)化為小球入盒的組合計數(shù)把 $n$ 顆無區(qū)別糖果看成 $n$ 個無區(qū)別的小球把 3 個小朋友看成 3 個有區(qū)別的盒子。合法方案數(shù)即為把 $n$ 個無區(qū)別小球放入 3 個有區(qū)別盒子允許空盒且每個盒子的小球數(shù)不超過 $\textit{limit}$ 的方案數(shù)。求解思路采用正難則反$$ \text{合法方案數(shù)} \text{所有方案數(shù)} - \text{不合法方案數(shù)} $$其中不合法指至少一個小朋友分到的糖果超過 $\textit{limit}$。三、第一步用隔板法求所有方案數(shù)在沒有 $\textit{limit}$ 限制時問題退化為經(jīng)典組合計數(shù)$n$ 個無區(qū)別小球放入 $3$ 個有區(qū)別盒子、允許空盒的方案數(shù)。隔板法是標準工具把 $n$ 個球排成一列在它們之間及兩端共 $n1$ 個空隙中插入 $2$ 個隔板用隔板把球分成三段依次對應三個盒子。等價地可理解為 $n$ 個球與 $2$ 個隔板共 $n2$ 個位置從中選出 $2$ 個位置放隔板其余位置放球第一個隔板之前的球進第 1 個盒子第一個隔板與第二個隔板之間的球進第 2 個盒子第二個隔板之后的球進第 3 個盒子。因此所有方案數(shù)為$$ \binom{n2}{2} $$隔板法天然覆蓋了空盒情形隔板可以放在最左端第 1 個盒子為空、最右端第 3 個盒子為空兩個隔板也可以相鄰第 2 個盒子為空均對應一種合法擺放方式無需單獨討論。邊界提示組合數(shù) $\binom{n2}{2}$ 恒有意義$n \geqslant 0$但后續(xù)容斥項中的參數(shù)可能變成負數(shù)需要借助當 $x 2$ 時 $\binom{x}{2}0$的約定來統(tǒng)一處理詳見第六節(jié)。四、第二步用容斥原理逐層統(tǒng)計不合法方案設 $A,B,C$ 分別表示小朋友 $A/B/C$ 分到的糖果超過 $\textit{limit}$這一事件不合法方案數(shù)即 $|A \cup B \cup C|$用容斥原理展開為$$ |A \cup B \cup C| |A||B||C| - |A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| |A\cap B\cap C| $$4.1 至少一個小朋友超過 limit$|A||B||C|$先只看 $A$。若 $A$ 分到的糖果超過 $\textit{limit}$則先固定分給他 $\textit{limit}1$ 顆剩余 $n-(\textit{limit}1)$ 顆糖果仍然可以隨意分給 3 個小朋友包括繼續(xù)分給 $A$這一點至關重要下文單獨強調(diào)于是方案數(shù)為$$ \binom{n-(\textit{limit}1)2}{2} \binom{n-\textit{limit}1}{2} $$$B$、$C$ 的情形完全對稱三者相加得 $3\cdot\binom{n-\textit{limit}1}{2}$。由于這三個集合兩兩相交直接相加會重復統(tǒng)計至少兩個小朋友超過 limit的方案故需進入下一步扣除。?易錯點固定分給 $A$ 的 $\textit{limit}1$ 顆之后剩余糖果依然可以繼續(xù)分給 $A$。也就是說先分給他 limit1 顆只是為了保證該方案至少超過 limit 一次并不代表總共只分給他 limit1 顆遺漏這一點會漏計大量方案。4.2 至少兩個小朋友超過 limit$|A\cap B||A\cap C||B\cap C|$只看 $A$ 和 $B$。若兩者都超過 $\textit{limit}$先固定分給他們各 $\textit{limit}1$ 顆即共 $2\cdot(\textit{limit}1)$ 顆剩余 $n-2\cdot(\textit{limit}1)$ 顆隨意分配給 3 人$C$ 是否超過 limit 不予關注方案數(shù)為$$ \binom{n-2\cdot(\textit{limit}1)2}{2} \binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2} $$三組配對 $(A,B),(A,C),(B,C)$ 對稱相加得 $3\cdot\binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2}$。但這里又重復統(tǒng)計了三個小朋友均超過 limit的方案三個集合的交集被三組兩兩交集各統(tǒng)計一次因此還需要最后一步修正。4.3 三個小朋友均超過 limit$|A\cap B\cap C|$先固定分給三人共 $3\cdot(\textit{limit}1)$ 顆剩余 $n-3\cdot(\textit{limit}1)$ 顆隨意分配方案數(shù)為$$ \binom{n-3\cdot(\textit{limit}1)2}{2} \binom{n-3\cdot\textit{limit}-1}{2} $$4.4 容斥匯總將各層按奇加偶減合并不合法方案數(shù)為$$ 3\cdot\binom{n-\textit{limit}1}{2} - 3\cdot\binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2} \binom{n-3\cdot\textit{limit}-1}{2} $$再用所有方案數(shù)減去它即得最終答案公式$$ \boxed{\binom{n2}{2} - 3\cdot\binom{n-\textit{limit}1}{2} 3\cdot\binom{n-2\cdot\textit{limit}}{2} - \binom{n-3\cdot\textit{limit}-1}{2}} $$這也印證了題解中至少一個 ? (至少兩個 ? 三個) 至少一個 ? 至少兩個 三個的歸納三個集合的容斥最終表現(xiàn)為四個組合數(shù)的交錯和其本質(zhì)就是標準的 3 集合容斥展開。五、最終公式的多語言實現(xiàn)題解為 Python3、Java、C、C、Go、JavaScript、Rust 提供了完全同構的七份實現(xiàn)。其公共要點是定義輔助函數(shù) $c_2(x)$$$ c_2(x)\begin{cases}\frac{x(x-1)}{2} x1\ 0 x\leqslant 1\end{cases} $$即當 $x2$ 時組合數(shù) $\binom{x}{2}0$——這正是處理剩余糖果為負這類越界參數(shù)的關鍵。以倉庫實際使用的 Go 實現(xiàn)為例與 b.go 逐行一致func c2(n int) int64 { if n 2 { return 0 } return int64(n) * int64(n-1) / 2 } func distributeCandies(n int, limit int) int64 { return c2(n2) - 3*c2(n-limit1) 3*c2(n-2*limit) - c2(n-3*limit-1) }Python 參考實現(xiàn)同樣簡潔def c2(n: int) - int: return n * (n - 1) // 2 if n 1 else 0 class Solution: def distributeCandies(self, n: int, limit: int) - int: return c2(n 2) - 3 * c2(n - limit 1) 3 * c2(n - 2 * limit) - c2(n - 3 * limit - 1)其余語言Java/C/C/JavaScript/Rust的寫法與上述完全等價僅語法與整數(shù)溢出保護策略不同C/C 使用long longJava 使用longRust 顯式做as i64轉(zhuǎn)換目的都是在乘法n*(n-1)前提升到 64 位整數(shù)避免中間結(jié)果溢出。六、復雜度分析與數(shù)值邊界時間復雜度$\mathcal{O}(1)$——每個組合數(shù)由一次乘法、一次減法、一次除法直接算出不依賴 $n$ 的大小?？臻g復雜度$\mathcal{O}(1)$——僅使用常數(shù)個變量。數(shù)值邊界方面需要注意兩點負數(shù)參數(shù)的組合數(shù)約定當 $n$ 較小時容斥項如 $n-2\cdot\textit{limit}$ 甚至 $n-3\cdot\textit{limit}-1$ 會變成負數(shù)此時約定 $\binom{x}{2}0$由c2的n 2分支統(tǒng)一處理。例如 $n5, \textit{limit}2$ 時后兩項參數(shù)分別為 $1$ 和 $-2$均返回 0。整數(shù)類型選擇$n$ 可達到 $10^6$ 量級時$n^2$ 已達 $10^{12}$超過 32 位int上限因此 II 版題解b.go的c2返回int64這正是它與 I 版a.go返回int的唯一實現(xiàn)差異。七、倉庫內(nèi)的測試驗證從公式到可運行用例該倉庫為每道題配套了題解 實現(xiàn) 輸入數(shù)據(jù) 測試四件套本題的驗證閉環(huán)如下實現(xiàn)b.go 提供distributeCandies函數(shù)輸入數(shù)據(jù)b.txt 按每 3 行一組存放測試用例2 個輸入?yún)?shù) 1 個預期輸出共兩組n5, limit2期望輸出3n3, limit3期望輸出10。測試入口b_test.go 調(diào)用testutil.RunLeetCodeFuncWithFile(t, distributeCandies, b.txt, targetCaseNum)驅(qū)動驗證?？墒止を炈銉山M數(shù)據(jù)印證公式正確性$n5,\ \textit{limit}2$$\binom{7}{2}-3\binom{4}{2}3\binom{1}{2}-\binom{-2}{2}21-180-03$ ?枚舉可得 3 種分配$(3,1,1)$ 的三組排列$n3,\ \textit{limit}3$每人上限 3 顆而總共只有 3 顆所有方案天然合法$\binom{5}{2}10$ ?即 $xyz3$ 的非負整數(shù)解個數(shù)。測試驅(qū)動層位于 leetcode/testutil/leetcode.go 的RunLeetCodeFuncWithFile它讀取b.txt按函數(shù)簽名NumIn NumOut行一組解析輸入與期望輸出再用反射逐組調(diào)用被測函數(shù)并比對結(jié)果而 RunLeetCodeFuncWithExamples 會在運行單個用例后自動繼續(xù)跑完全部用例并支持-1表示最后一個用例、檢測超時TLE等細節(jié)是倉庫所有 LeetCode 題解共用的通用測試設施。若在 leetcode/biweekly/117/b 目錄執(zhí)行go test即可一鍵跑通上述全部驗證。八、思維延伸從分糖果到更廣的容斥應用本題是三集合容斥 隔板法的教科書級組合隔板法負責無約束計數(shù)容斥負責處理上界約束二者各司其職。同場雙周賽的第三題 README.md 是同一套思想的另一形態(tài)——統(tǒng)計恰好包含 1 個l、1 個t、2 個e的長度為 $n$ 的字符串個數(shù)同樣以正難則反構造三個違規(guī)條件并用容斥展開最終化簡為四個快速冪項的交錯和$\mathcal{O}(\log n)$。對照閱讀這兩份題解可以清晰看到容斥原理這一數(shù)學工具的兩種典型落地形態(tài)一者是組合數(shù)求和一者是快速冪求和。若想在類似題目中復用本文方法建議遵循三步套路先建模為無區(qū)別物體入有區(qū)別盒子再寫出無約束方案數(shù)最后按違規(guī)條件個數(shù)分層套用容斥把每一層先固定越界部分、剩余任意分配的計數(shù)模式即 $\binom{\cdot}{2}$提煉出來?？偨Y(jié)本文從 leetcode/biweekly/117/b/README.md 出發(fā)完整推導了分糖果給小朋友 II的 $\mathcal{O}(1)$ 公式隔板法給出基準 $\binom{n2}{2}$三集合容斥給出修正項 $-3\binom{n-\textit{limit}1}{2}3\binom{n-2\textit{limit}}{2}-\binom{n-3\textit{limit}-1}{2}$并給出了 Python/Java/C/C/Go/JavaScript/Rust 七種語言的等價實現(xiàn)。同時結(jié)合倉庫內(nèi) b.go、b.txt、b_test.go 與通用測試框架 leetcode/testutil/leetcode.go用兩組可運行用例驗證了公式的正確性。理解隔板法計數(shù) 容斥修正這套組合拳即可舉一反三地解決帶個體上限的整數(shù)拆分計數(shù)這一大類組合問題。贊分享科學計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載相關推薦分錢給最多孩子雙周賽 100 首題O(1) 解法數(shù)學推導、四語言實現(xiàn)與 codeforces-go 倉庫工程實踐分錢給最多孩子雙周賽 100 首題O 1 解法數(shù)學推導、四語言實現(xiàn)與 codeforces go 倉庫工程實踐 本篇文章以靈茶山艾府算法競賽模板庫 cod科學計算cdp高級用法如何實現(xiàn)Headless Chrome的并發(fā)控制cdp高級用法如何實現(xiàn)Headless Chrome的并發(fā)控制 在現(xiàn)代Web開發(fā)和自動化測試中Headless Chrome已成為不可或缺的工具。而使用GoLeetCode-Go 題解 135Candy 分發(fā)糖果的雙向貪心掃描算法深度解析LeetCode Go 題解 135Candy 分發(fā)糖果的雙向貪心掃描算法深度解析 導讀 LeetCode 第 135 題「Candy分發(fā)糖果」是一道經(jīng)示例工程上一篇Comprehensive Rust 精講可變靜態(tài)變量static mut為何需要 unsafe以及如何在 no_std 低層代碼中安全使用下一篇將 REST API 通過 Azure API Management 發(fā)布為 MCP Server從創(chuàng)建、限流策略到 Copilot Agent 調(diào)用全指南創(chuàng)作聲明：本文部分內(nèi)容由AI輔助生成（AIGC），僅供參考