這期繼續(xù)更MATLAB基礎(chǔ)學(xué)習(xí)筆記主題是向量。前兩篇分別把基本操作和矩陣、數(shù)組的概念理了一遍這次專門把向量單獨拎出來聊原因是很多初學(xué)者在真正動手寫腳本時第一個卡住的地方往往不是矩陣操作而是“向量到底該怎么建、怎么取、怎么算”。向量這個知識點看著小但它貫穿了數(shù)據(jù)預(yù)處理、信號處理、控制系統(tǒng)仿真甚至圖像處理的每一個角落可以說把向量吃透了MATLAB的學(xué)習(xí)就能順暢一大半。這篇筆記適合兩類讀者一類是剛接觸MATLAB、準(zhǔn)備系統(tǒng)入門的人另一類是已經(jīng)會用plot和for循環(huán)、但碰到索引報錯和維度不匹配就蒙圈的人。我會從向量的底層認(rèn)知講起一直講到創(chuàng)建、運算、索引、可視化和常見報錯盡量把那些“書上不寫但實戰(zhàn)中一定會遇到”的細節(jié)都攤開說清楚。內(nèi)容偏實操每個知識點都配了可以直接復(fù)制運行的小例子建議你打開MATLAB一邊看一邊敲。1. 先理解向量矩陣視角下的行與列1.1 一切皆矩陣向量只是“退化”的矩陣先說一個底層認(rèn)知。MATLAB這個名字本身就來自Matrix Laboratory它的核心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是矩陣標(biāo)量是1×1的矩陣向量是1×n或者n×1的矩陣矩陣就是m×n的完整數(shù)組。很多報錯你之所以看不懂是因為腦子里還在把向量當(dāng)成“一列數(shù)據(jù)”而MATLAB眼里只有“矩陣的尺寸”和“矩陣乘法的規(guī)則”。舉個例子你在MATLAB里寫x [1 2 3]它的形態(tài)是1行3列也就是行向量你寫x [1; 2; 3]它的形態(tài)是3行1列是列向量。這兩種形態(tài)在屏幕上看起來都是“一串?dāng)?shù)字”但在矩陣運算里的意義完全不同。判斷一個變量的真實尺寸用size()函數(shù)就行了x_row [1 2 3]; x_col [1; 2; 3]; size(x_row) % 結(jié)果為 1 3 size(x_col) % 結(jié)果為 3 1我在帶新人時經(jīng)常做一個練習(xí)讓他們先用size打印出腳本中每個變量的維度再解釋為什么某個運算會報錯。這個習(xí)慣非常有用尤其是當(dāng)你從別人手里接過來一段代碼時百分之八十的報錯都可以靠打印維度排查掉。理解了“一切皆矩陣”你再回頭看length和numel的區(qū)別就很容易了。length(x)返回的是最長那個維度的長度numel(x)返回的是元素總個數(shù)。對一個向量來說兩者相等但一旦變量變成矩陣length就可能不再是你想要的那個數(shù)。1.2 行向量與列向量方向決定命運創(chuàng)建行向量和列向量的方式表面上只差一個分號或轉(zhuǎn)置但在實際計算中這個方向會直接影響運算結(jié)果。行向量用空格或逗號分隔元素列向量用分號分隔比如a [1 2 3]; % 1行3列 b [1; 2; 3]; % 3行1列 c a; % 轉(zhuǎn)置成列向量 d b.; % 轉(zhuǎn)置成行向量這里有個非常重要的細節(jié)和.在實數(shù)向量上效果一樣都是轉(zhuǎn)置但在復(fù)數(shù)向量上它們完全不同。是共軛轉(zhuǎn)置會把虛部符號翻轉(zhuǎn).是普通轉(zhuǎn)置不會改變元素值。后面我會專門講復(fù)向量的問題這里你先記住一個原則如果你只是想把行變列、列變行而不是做數(shù)學(xué)意義上的共軛那就統(tǒng)一用.這樣無論未來處理什么數(shù)據(jù)都不會踩坑。行向量與列向量的“方向”還會影響隱式擴展和矩陣乘法。舉個常見的例子如果你想把一組數(shù)據(jù)和另一個向量做點運算方向的差異會導(dǎo)致維度不匹配。我在實際項目中見過有人因為寫漏了一個轉(zhuǎn)置符號導(dǎo)致整個信號濾波結(jié)果被轉(zhuǎn)置到相反方向調(diào)試了整整一個下午。所以每當(dāng)你創(chuàng)建向量時心里要先問一句我到底要的是1×n還是n×11.3 復(fù)向量帶來的共軛轉(zhuǎn)置陷阱復(fù)向量在信號處理和通信系統(tǒng)里非常常見這時和.的差異就不是紙上談兵了?？磦€具體例子z [12i, 3-4i, 56i]; z1 z; % 共軛轉(zhuǎn)置元素變成 [1-2i; 34i; 5-6i] z2 z.; % 普通轉(zhuǎn)置元素還是 [12i; 3-4i; 56i]只是方向變了如果是在做FFT頻譜分析你拿到了復(fù)數(shù)頻譜想把它從行向量轉(zhuǎn)成列向量再拼到矩陣?yán)锊恍⌒挠昧四敲刺摬糠柧腿兞撕罄m(xù)的相位分析全部作廢而且這種錯誤很難用肉眼看出來因為模值幾乎沒變化只有相位不對。很多老手也習(xí)慣寫是因為早期MATLAB版本里人們?；煊玫珡奈易约旱慕?jīng)驗看絕不要在圖省事的地方埋這種雷。2. 創(chuàng)建向量從冒號到函數(shù)批量生成2.1 冒號運算符最常用的等間隔向量創(chuàng)建向量最基礎(chǔ)也最常用的方式就是冒號運算符。語法是起始值:步長:結(jié)束值步長省略時默認(rèn)為1。直接看例子x1 1:5; % [1 2 3 4 5] x2 0:0.2:1; % [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1] x3 5:-1:1; % [5 4 3 2 1] x4 1:0.5:0; % 空向量因為步長為正且起始值大于結(jié)束值這里需要提醒一個新手很容易忽略的點冒號的步長可以是負數(shù)但方向必須和起始到結(jié)束的方向一致。如果你想生成一個遞減向量卻忘了寫負步長得到的不是報錯而是一個空向量。空向量本身不報錯但當(dāng)你后續(xù)用x(1)去訪問它的第一個元素時就會彈出索引越界的錯誤這種問題在真實代碼里隱蔽性極高。另外浮點步長有一個潛在風(fēng)險。像是0:0.1:1這種寫法雖然大多數(shù)情況下能得到11個元素但由于浮點數(shù)無法精確表示0.1個別版本或邊界條件下可能會出現(xiàn)最后一點不是1的情況。我個人的習(xí)慣是如果明確知道需要多少個等間隔點就用linspace如果只是想用步長生成一個粗糙的采樣序列冒號運算符也沒問題但不要在浮點步長的向量上做精確等式判斷比如x(11) 1這種很容易得到邏輯假。2.2 linspace與logspace等分與對數(shù)間隔linspace用來生成指定起點和終點之間固定數(shù)量的等間隔點語法是linspace(起始, 終點, 點數(shù))。點數(shù)不寫時默認(rèn)是100。它在畫圖時特別常用因為利用它可以非常精確地控制采樣個數(shù)t linspace(0, 2*pi, 200); % 200個點從0到2*pi均勻分布 y sin(t); plot(t, y);你可能會問既然冒號運算符也能生成等間隔向量為什么要用linspace兩個原因。第一linspace的點數(shù)是確定的你不用去算步長第二linspace內(nèi)部會把首尾點都包含進去對于需要包含端點的場合比如設(shè)置坐標(biāo)軸范圍更加可靠。典型情況是你要畫一個光滑的正弦曲線用冒號寫0:0.01:2*pi大約生成629個點但終點因為浮點誤差不一定精確落在2*pi上用linspace(0, 2*pi, 630)就能精確定位。logspace和linspace類似但它生成的是對數(shù)間隔的點常用于頻率軸。logspace(-2, 2, 5)會生成從0.01到100之間按10的冪分布的5個點也就是0.01、0.1、1、10、100。在做伯德圖、頻響分析或者取采樣頻率的對數(shù)刻度的場景中l(wèi)ogspace幾乎是標(biāo)配。2.3 zeros、ones、rand等函數(shù)批量生成除了手工列舉元素更實用的是用函數(shù)一次性生成向量。下面這幾個函數(shù)是我平時用得最多的a zeros(1, 5); % [0 0 0 0 0] b ones(3, 1); % [1; 1; 1] c rand(1, 10); % 10個[0,1)均勻隨機數(shù) d randn(1, 10); % 10個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機數(shù) e randi([1, 100], 1, 8); % 8個1到100之間的隨機整數(shù)需要特別說明的是randi的第三、第四個參數(shù)分別代表行數(shù)和列數(shù)千萬別把順序搞反。我見過有人想要10個1到100的隨機整數(shù)結(jié)果寫成了randi([1, 100], 10)得到的是10×10的矩陣而不是向量后續(xù)運算全部亂套。repmat和repelem也值得一提它們都能復(fù)制向量但復(fù)制邏輯不同。repmat(a, 1, 3)把整個向量當(dāng)作原子來重復(fù)結(jié)果是[1 2 3 1 2 3 1 2 3]repelem(a, 2)則把每個元素分別重復(fù)結(jié)果是[1 1 2 2 3 3]。這兩個函數(shù)在矩陣擴展和樣本生成時非常實用但很多人到了一兩年后才開始使用其實早期學(xué)會能省很多循環(huán)。3. 向量的三種核心運算點運算、點積叉積、范數(shù)歸一化3.1 元素級運算與矩陣運算的區(qū)別這是MATLAB新人最大的分水嶺要不要在運算符前面加那個點。*是矩陣乘法.*是元素級乘法/和./、^和.^同理。矩陣乘法要求內(nèi)維度匹配而元素級運算要求兩個向量形狀完全一致或者滿足隱式擴展條件。打個比方。矩陣乘法像“兩個隊伍按規(guī)則配對”行向量的每個元素要和列向量的每個元素組合求積所以1×3的行向量不能直接乘以1×3的行向量內(nèi)維度不匹配。元素級運算像“兩個人面對面結(jié)對手拉手”對應(yīng)位置的元素逐一相乘所以只要兩個向量尺寸一致就能算?？催@段代碼a [1 2 3]; b [4 5 6]; c a .* b; % [4 10 18]逐元素相乘 d a * b; % 32矩陣乘法內(nèi)積 e a * b; % 報錯Inner matrix dimensions must agree.我指導(dǎo)過很多學(xué)生他們第一次寫向量內(nèi)積時都習(xí)慣寫成a * b然后被報錯嚇到。其實此時要么寫成a * b要么用dot(a, b)。而如果你只是想對兩個等長向量的每個對應(yīng)位置做運算就老老實實加個點。判斷標(biāo)準(zhǔn)很簡單你關(guān)心的是“整體組合”還是“逐個對應(yīng)”前者用矩陣運算后者用點運算。3.2 點積與叉積的工程含義MATLAB里直接用dot和cross函數(shù)不用自己寫求和公式。點積也叫內(nèi)積公式上等于sum(a .* b)幾何意義是一個向量在另一個向量方向上的投影長度乘以另一個向量的長度。在數(shù)據(jù)分析里點積經(jīng)常用來衡量兩個序列的相關(guān)程度。計算兩個傳感器信號的點積如果值很大說明波形趨勢相近如果接近零說明兩者幾乎正交。a [1, 2, 3]; b [4, 5, 6]; p dot(a, b); % 32 p2 sum(a .* b); % 同樣為32叉積則不同cross(a, b)返回一個垂直于a和b所張成平面的新向量方向由右手定則決定。三維空間中叉積常用于求法向量、旋轉(zhuǎn)軸。例如已知平面上兩個不平行向量取它們的叉積就能得到該平面的法向量這在計算機圖形學(xué)里非常常用。二維向量也能用cross它返回一個標(biāo)量表示“有向面積”的正負可以用來判斷三個點構(gòu)成的角度是順時針還是逆時針p1 [0, 0]; p2 [1, 0]; p3 [0, 1]; c cross([p2-p1], [p3-p1]); % 返回正數(shù)說明逆時針3.3 范數(shù)與歸一化范數(shù)用來衡量向量的大小。常見的三種是1范數(shù)絕對值之和、2范數(shù)歐幾里得長度、無窮范數(shù)最大絕對值。MATLAB里直接norm(v, 1)、norm(v, 2)或者norm(v)默認(rèn)2范數(shù)、norm(v, Inf)即可。v [3, 4, 0]; n2 norm(v); % 5 n1 norm(v, 1); % 7 ninf norm(v, Inf); % 4歸一化就是把向量按比例縮放到單位長度或特定范圍常用兩種方式。一種是讓向量的2范數(shù)變?yōu)?即normalize(v, norm)另一種是把元素線性映射到[0, 1]區(qū)間即normalize(v, range)。這個操作在機器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)預(yù)處理里幾乎必做因為如果不歸一化量綱差異大的特征會直接壓過其他特征比如一個范圍是0到10000的變量和一個范圍是0到1的變量放在一起算距離后者基本不起作用。v [10, 20, 30]; u normalize(v, norm); % 模長為1的向量 r normalize(v, range); % [0, 0.5, 1]這里有個細節(jié)容易被忽略normalize函數(shù)返回的結(jié)果在R2018a之后可用如果你的MATLAB版本比較老可以用手寫方式代替比如v ./ norm(v)和(v - min(v)) ./ (max(v) - min(v))。效果完全一樣。4. 索引與切片數(shù)據(jù)快速定位的多種技巧4.1 下標(biāo)索引、end與步長MATLAB的索引從1開始這一點和Python的0起始完全不同初學(xué)階段最容易出低級錯誤。基本用法有下面幾種x [10, 20, 30, 40, 50]; x(2); % 20單元素索引 x(1:3); % [10 20 30]連續(xù)切片 x(2:2:end); % [20 40]帶步長的切片 x(end); % 50最后一個元素 x(end:-1:1); % [50 40 30 20 10]倒序end是一個隱式的索引關(guān)鍵字它等價于當(dāng)前維度的長度。用end的好處是即使向量長度變化代碼依然自動適配。我自己的習(xí)慣是只要涉及數(shù)組末端位置一律用end而不是硬編碼一個具體數(shù)字比如x(x中元素的個數(shù))這種寫法的維護成本太高一旦前面的處理改變了向量長度后邊的索引就要跟著改。這里還要提醒一句MATLAB沒有負數(shù)索引。x(-1)不會像Python那樣返回倒數(shù)第一個元素而是直接報錯“數(shù)組索引必須為正整數(shù)或邏輯值”。很多人從Python轉(zhuǎn)過來都會在這上面浪費幾分鐘。4.2 邏輯索引一步篩出你想要的數(shù)據(jù)邏輯索引是MATLAB非常強大但新手不太適應(yīng)的一種索引方式。它的核心思想是用一個與向量等長的邏輯數(shù)組由true和false組成作為索引只有對應(yīng)位置為true的元素才會被取出。寫起來非常直觀data randn(1, 100); outliers data(abs(data) 2); % 直接取所有絕對值大于2的異常點 pos data(data 0); % 取所有正數(shù) idx find(data 0); % 或者只取位置下標(biāo)這里有兩套索引體系位置下標(biāo)索引比如data([1, 5, 7])和邏輯索引比如data(data 0)。邏輯索引的價值在于它把“條件判斷”和“取數(shù)”合到了一步代碼既短又不容易出錯。如果你需要下標(biāo)再用find函數(shù)轉(zhuǎn)換。在實際項目里我用邏輯索引做數(shù)據(jù)清洗的比例非常高比如從傳感器采集序列中剔除掉無效的NaN值valid data(~isnan(data) ~isinf(data));這一行就完成了傳統(tǒng)寫法里好幾行的循環(huán)判斷這就是向量化思維帶來的效率。4.3 修改、插入與刪除元素向量的修改和擴展很靈活但有幾個隱藏行為必須知道。先看基本的x [1, 2, 3, 4]; x(2) 99; % 修改第二個元素[1 99 3 4] x(end 1) 100; % 末尾追加[1 99 3 4 100] x [x(1), 50, x(2:end)]; % 在第二個位置插入50 x(3) []; % 刪除第三個元素重點說一下那個隱藏坑如果你直接給一個中間跳空的位置賦值MATLAB不會報錯而是自動用0填充跳躍部分。比如x [10, 20, 30]; x(5) 99;得到的x是[10 20 30 0 99]。這個行為在很多情況下不是你想要的尤其是從循環(huán)里動態(tài)組裝數(shù)據(jù)時一旦索引寫錯會悄無聲息地多出一堆0后續(xù)算均值、找峰值全都會受影響。排查這種bug比報錯要痛苦得多因為程序“正常運行”但結(jié)果錯了。所以在動態(tài)擴展向量時要么用end 1的方式每次都追加到末尾要么干脆初始化一個足夠長的零向量再按位置填充。5. 可視化與向量化編程5.1 plot、stem與直方圖把向量畫出來向量的可視化是驗證算法正確性的最快方式。最基本的plot用法是橫坐標(biāo)向量加縱坐標(biāo)向量t linspace(0, 2*pi, 200); y1 sin(t); y2 cos(t); plot(t, y1, r-, LineWidth, 2); hold on; plot(t, y2, b--); legend(sin, cos); xlabel(t); ylabel(y); grid on;需要注意的一點是plot的兩個參數(shù)必須是同尺寸的向量橫縱都行但如果一個是行向量另一個是列向量在舊版本里會得到一堆雜亂曲線而不是一條線。現(xiàn)在的新版本支持隱式擴展會自動調(diào)整但為了可讀性還是建議畫圖前統(tǒng)一方向。對于離散數(shù)據(jù)stem比plot更合適要觀察分布形態(tài)直接用histogramr randn(1, 10000); histogram(r, 50);這個圖一看就能判斷數(shù)據(jù)是否接近正態(tài)分布比你計算任何統(tǒng)計量都直觀。我在做信號分析時幾乎每次拿到一段新數(shù)據(jù)的第一件事就是畫圖先看形態(tài)再決定用什么算法處理?？梢暬皇菫榱税l(fā)朋友圈是為了幫你確認(rèn)數(shù)據(jù)的“脾氣”。5.2 向量化思維用內(nèi)置函數(shù)取代for循環(huán)向量化是MATLAB性能優(yōu)化里最重要的一課。因為MATLAB本質(zhì)是解釋型語言純循環(huán)的開銷很大而內(nèi)置函數(shù)背后是高度優(yōu)化的C和Fortran代碼還利用了現(xiàn)代CPU的并行能力。比如你要計算序列的累積和可以寫循環(huán)x 1:100000; y zeros(size(x)); for k 1:numel(x) y(k) sum(x(1:k)); end但一行cumsum(x)就能做到同樣的事速度可能快幾十倍。類似的還有diff用來差分、abs取絕對值、sin和cos直接對整個向量操作、exp和log也能直接用。新建向量時不要寫y[]然后循環(huán)里逐元素添加那是最慢的寫法學(xué)會把“逐點計算”翻譯成“對整個數(shù)組的一次函數(shù)調(diào)用”。我自己在帶項目時做過一個簡單的性能測試對100萬個隨機數(shù)分別用循環(huán)和向量化計算exp(x).*sin(x)的和向量化版本運行時間常常不到循環(huán)版的十分之一。性能差異在幾百萬點的數(shù)據(jù)上非常明顯這在寫實時處理腳本時是生死攸關(guān)的問題。不過也要說句公道話不是所有場景都適合向量化比如遞歸算法或者每個新值依賴前一個值的迭代過程硬要向量化只會把代碼寫得像天書這時候用循環(huán)反而清晰。6. 常見報錯與排錯實錄6.1 維度不匹配先查size再做運算最常見的報錯就是Error using *和Inner matrix dimensions must agree.。這條報錯幾乎可以翻譯成一句話你把矩陣乘法用在了不該用的地方或者向量的方向不對。處理思路分三步第一用size打印出參與運算的各變量維度第二確認(rèn)你到底想要矩陣乘法還是元素級運算第三如果是想得到標(biāo)量內(nèi)積但兩個都是行向量記得用a * b或dot(a, b)。還有一類維度不匹配是拼接時產(chǎn)生的比如[a, b]要求a和b都是行向量且列數(shù)兼容如果一個是行向量一個是列向量就會報錯或者產(chǎn)生一個意外形狀的矩陣。我會在所有讀入數(shù)據(jù)的腳本里加一行disp(size(data))確保從一開始就知道數(shù)據(jù)形態(tài)后邊才不會出連環(huán)錯。6.2 索引越界與空向量為什么x(1)也會報錯報錯文本Index exceeds the number of array elements.意味著你訪問的下標(biāo)大于當(dāng)前向量長度。這種情況經(jīng)常發(fā)生在循環(huán)里循環(huán)邊界用了導(dǎo)致多走了一位或者冒號方向?qū)懛瓷闪丝障蛄吭偃ピL問空向量的第一個元素。空向量在MATLAB里是合法的size([])結(jié)果是0×0但你訪問x(1)就會報錯。排查技巧是報錯那一行之前先打印numel(x)和出問題的索引值。比如k 5; disp(numel(x)); disp(k); x(k);這樣能立刻看出是索引超出了真實長度還是循環(huán)計數(shù)本身就錯了。另一個容易被忽略的場景是find找不到任何滿足條件的元素它返回空數(shù)組然后你用這個空數(shù)組去索引原向量同樣會報錯。我習(xí)慣在find之后先判斷一下是否為空再決定后續(xù)操作。6.3 隱式擴展與預(yù)分配兩個提升性能和穩(wěn)定性的習(xí)慣新版MATLAB支持隱式擴展也就是允許一個向量和一個標(biāo)量直接運算比如[1 2 3] 1會得到[2 3 4]不需要手動寫ones(1,3)去擴展。這大大方便了日常計算但也有一些反面教訓(xùn)。當(dāng)你寫a [1 2 3]; b [4; 5; 6]; a b時隱式擴展會把a擴展成3×3、把b也擴展成3×3得到3×3矩陣。這個行為在舊版本里會直接報錯現(xiàn)在卻“正常執(zhí)行”了。如果你沒意識到這一點后續(xù)代碼可能收到一個預(yù)期之外的矩陣。所以算完一個表達式后打印一下size仍然是排查問題的好習(xí)慣。預(yù)分配指的是在循環(huán)前先創(chuàng)建好目標(biāo)向量比如n 10000; y zeros(1, n); for k 1:n y(k) k^2; end而不是在循環(huán)內(nèi)部用y [y, k^2]不斷讓向量變長。動態(tài)增長會讓MATLAB反復(fù)重新分配內(nèi)存數(shù)據(jù)量一大性能直線下降。我在寫仿真腳本比如隨機游走模型或逐點信號的遞推計算時都強制自己先zeros預(yù)分配這個習(xí)慣在數(shù)據(jù)量達到百萬級別時能明顯感覺到差異。還有一個相關(guān)的坑是直接給跳空位置賦值造成自動補0前面已經(jīng)強調(diào)過這里不再重復(fù)。這篇筆記按我自己踩坑的順序整理了一遍。最后分享一個我一直保留的小習(xí)慣每寫完一段向量相關(guān)代碼先用size打印一下關(guān)鍵變量的維度尤其是在轉(zhuǎn)置、拼接、邏輯索引之后。維度對了后面基本不會出大亂子。初學(xué)的朋友可以自己做個小練習(xí)生成1000個隨機數(shù)分別用循環(huán)和向量化方式計算exp(x).*sin(x)的和對比運行時間你會有非常直觀的感受。向量是MATLAB一切計算的地基這關(guān)打牢之后再去學(xué)矩陣運算、機器學(xué)習(xí)算法或者圖像處理都會順暢很多。