1. 這道題為什么值得單獨(dú)拿出來講2020年高考理科數(shù)學(xué)全國3卷的選擇題第十二題在考后相當(dāng)長一段時(shí)間里都是討論度很高的一道題。它考的不是什么偏門冷門的公式而是一道以對數(shù)運(yùn)算為核心、結(jié)合不等式比較大小的題目。很多同學(xué)考完之后的第一反應(yīng)是這題我好像會做但就是沒做對或者排除法排到最后兩個(gè)選項(xiàng)然后蒙了一個(gè)。這種似會非會的狀態(tài)恰恰說明這道題命制得相當(dāng)有水平——它精準(zhǔn)地卡在了基礎(chǔ)扎實(shí)和理解透徹之間的分界線上。這篇文章我打算把這道題徹底拆開講。不只是給一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案而是把解題的完整思維鏈條、每一步背后的原理、考場上應(yīng)該怎么快速判斷、以及這類題目的通用套路全部講清楚。適合高三正在復(fù)習(xí)的學(xué)生、想幫孩子梳理思路的家長以及需要給學(xué)生講透這類題的老師參考。哪怕你基礎(chǔ)一般只要跟著我的節(jié)奏走也能把這道題的邏輯吃透。先把題目大意還原一下不同渠道的表述可能略有差異但核心結(jié)構(gòu)一致題目給出了一組涉及對數(shù)形式的量要求比較它們之間的大小關(guān)系或者判斷某個(gè)不等式是否成立四個(gè)選項(xiàng)分別對應(yīng)不同的比較結(jié)論。這類題在高考選擇題里屬于壓軸選擇的位置難度定位就是拉開區(qū)分度。為什么這道題難因?yàn)樗瑫r(shí)踩中了三個(gè)痛點(diǎn)第一對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)必須非常熟練稍微卡殼就會浪費(fèi)時(shí)間第二比較大小的常用手段作差、作商、找中間量、構(gòu)造函數(shù)需要靈活切換沒有固定套路第三選項(xiàng)設(shè)計(jì)有迷惑性幾個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值非常接近靠估算很容易出錯。下面我逐層展開。2. 解題前必須打牢的對數(shù)基礎(chǔ)2.1 對數(shù)運(yùn)算的三條核心性質(zhì)在動手做這道題之前有幾個(gè)對數(shù)性質(zhì)必須做到條件反射級別的熟練否則考場上現(xiàn)推會非常被動。第一條是換底公式$\log_a b \frac{\ln b}{\ln a}$。這條公式的價(jià)值在于它能把不同底數(shù)的對數(shù)統(tǒng)一到同一個(gè)底數(shù)下進(jìn)行比較。這道題里出現(xiàn)的對數(shù)底數(shù)不完全相同換底是繞不開的一步。第二條是對數(shù)加法與乘法的轉(zhuǎn)化$\log_a M \log_a N \log_a(MN)$反過來 $\log_a(MN) \log_a M \log_a N$。這條性質(zhì)在把一個(gè)對數(shù)拆成兩部分或者把兩個(gè)對數(shù)合并時(shí)極其關(guān)鍵。第三條是對數(shù)與指數(shù)的互化$a^x N \Leftrightarrow x \log_a N$。這條看似基礎(chǔ)但在比較大小的時(shí)候把對數(shù)式還原成指數(shù)式往往能打開新思路。我見過不少同學(xué)公式背得滾瓜爛熟但一到具體題目就不知道該用哪條。問題出在背和用之間缺了一座橋。我的建議是每做一道對數(shù)題做完之后回頭標(biāo)注一下這道題用了哪幾條性質(zhì)堅(jiān)持二十道題你自然就能建立起看到什么形式想到什么性質(zhì)的條件反射。2.2 比較大小的四種基本武器比較兩個(gè)數(shù)的大小高中階段能用的手段其實(shí)就那么幾種我把它們總結(jié)成四把武器作差法算 $A - B$看結(jié)果是正還是負(fù)。適用于兩個(gè)數(shù)形式接近、容易相減的情況。作商法算 $\frac{A}{B}$看結(jié)果大于1還是小于1。適用于兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)、且形式上有倍數(shù)關(guān)系的情況。找中間量找一個(gè)橋梁數(shù)證明 $A C$ 且 $C B$從而 $A B$。常用的中間量是0、1、以及一些特殊值。構(gòu)造函數(shù)法把比較對象看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值利用單調(diào)性來判斷。這是最高級也最通用的方法。這道題之所以有區(qū)分度就是因?yàn)樗枰阍谒姆N武器之間靈活切換而不是一招打天下。很多同學(xué)只會作差法遇到作差很復(fù)雜的情況就卡住了。下面我會結(jié)合具體步驟展示每種武器在什么時(shí)機(jī)出場。提示比較大小的題目第一步永遠(yuǎn)是觀察形式。先看兩個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)像不像像就用作差或作商不像就考慮找中間量或構(gòu)造函數(shù)。不要一上來就硬算。2.3 為什么這道題容易會而不對我分析過大量同學(xué)的錯題發(fā)現(xiàn)這道題的失分主要集中在三個(gè)環(huán)節(jié)。第一個(gè)環(huán)節(jié)是換底之后沒有化簡到底。換底公式用完之后得到的式子往往還能進(jìn)一步約分或合并但有些同學(xué)換完底就停手了導(dǎo)致后面比較的時(shí)候數(shù)字很丑越算越亂。第二個(gè)環(huán)節(jié)是中間量選錯。找中間量的時(shí)候選1還是選某個(gè)對數(shù)本身會直接影響后續(xù)的難度。選得好兩步就出結(jié)果選得不好繞一大圈還容易出錯。第三個(gè)環(huán)節(jié)是忽略定義域和正負(fù)號。對數(shù)運(yùn)算要求真數(shù)為正有些同學(xué)在作商的時(shí)候沒有確認(rèn)分母的正負(fù)導(dǎo)致不等號方向搞反這是最冤的失分。這三個(gè)環(huán)節(jié)本質(zhì)上都不是不會而是不細(xì)。高考選擇題的壓軸題考的就是這種細(xì)節(jié)上的功力。接下來我進(jìn)入正式的解題過程。3. 完整解題過程逐步拆解3.1 第一步統(tǒng)一形式換底化簡拿到題目先不要急著算?；ㄊ腌娪^察一下幾個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)。題目中給出的量底數(shù)和真數(shù)各不相同直接比較是不可能的。第一步必須把它們統(tǒng)一到同一種形式下。假設(shè)題目涉及的量形如 $\log_a b$ 和 $\log_c d$ 這樣的結(jié)構(gòu)具體數(shù)值以實(shí)際題目為準(zhǔn)我的處理策略是全部換成自然對數(shù)或常用對數(shù)也就是用換底公式 $\log_a b \frac{\ln b}{\ln a}$。換底之后每個(gè)量都變成了一個(gè)分式。這時(shí)候你會發(fā)現(xiàn)有些分式的分子分母之間可能存在倍數(shù)關(guān)系可以約分。約分這一步千萬不能省它能讓后面的比較難度直線下降。舉個(gè)具體的操作示范如果題目中有 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 這樣的量換底后變成 $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ 和 $\frac{\ln 4}{\ln 3}$。這時(shí)候你觀察一下$\ln 4 2\ln 2$所以第二個(gè)量可以寫成 $\frac{2\ln 2}{\ln 3}$。這種化簡在后續(xù)比較時(shí)非常有用。注意換底的時(shí)候底數(shù)選自然對數(shù) $e$ 還是常用對數(shù) $10$ 都可以結(jié)果一樣。我個(gè)人的習(xí)慣是選自然對數(shù)因?yàn)閷懫饋矶滩蝗菀壮鲥e。但如果你對常用對數(shù)更熟悉用 $10$ 也完全沒問題。3.2 第二步確定比較策略化簡完成之后接下來要決定用什么方法比較。這一步是整個(gè)解題的戰(zhàn)略決策點(diǎn)選對了方法后面就是順?biāo)浦圻x錯了方法可能算到一半發(fā)現(xiàn)走不通還得推倒重來。我的判斷邏輯是這樣的先看兩個(gè)數(shù)的形式是否同構(gòu)。如果兩個(gè)數(shù)換底后都是 $\frac{\ln m}{\ln n}$ 的形式且 $m$、$n$ 之間有明顯的倍數(shù)或冪次關(guān)系那優(yōu)先考慮作商法。因?yàn)橥瑯?gòu)的分式相除往往能約掉很多項(xiàng)。如果兩個(gè)數(shù)的形式差異較大比如一個(gè)是分式、一個(gè)是整數(shù)那優(yōu)先考慮找中間量。中間量通常選0或1因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)最容易判斷大小關(guān)系。如果題目要求比較的量超過兩個(gè)那就要兩兩比較逐步縮小范圍或者構(gòu)造一個(gè)函數(shù)利用單調(diào)性一次性解決。這道題的具體情況根據(jù)我的復(fù)盤最有效的策略是先找中間量縮小范圍再對接近的兩個(gè)量用作商法精算。這個(gè)策略的好處是先用低成本的方法排除掉明顯不對的選項(xiàng)再集中火力攻克剩下的。3.3 第三步構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性對于最難比較的那一對量如果作差和作商都不太順手那就上構(gòu)造函數(shù)這個(gè)大招。具體做法是把要比較的兩個(gè)量看成某個(gè)函數(shù) $f(x)$ 在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值然后研究 $f(x)$ 的單調(diào)性。如果 $f(x)$ 在相關(guān)區(qū)間上單調(diào)遞增那么自變量大的函數(shù)值就大反之亦然。構(gòu)造函數(shù)的難點(diǎn)在于怎么構(gòu)造。我的經(jīng)驗(yàn)是把兩個(gè)量的共同結(jié)構(gòu)提取出來把差異部分設(shè)為自變量。比如兩個(gè)量都含有 $\frac{\ln x}{x}$ 這樣的結(jié)構(gòu)那就可以令 $f(x) \frac{\ln x}{x}$然后研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性。$f(x) \frac{\ln x}{x}$ 這個(gè)函數(shù)在高中階段出現(xiàn)的頻率極高它的單調(diào)性值得單獨(dú)記一下求導(dǎo)得 $f(x) \frac{1 - \ln x}{x^2}$當(dāng) $0 x e$ 時(shí) $f(x) 0$函數(shù)遞增當(dāng) $x e$ 時(shí) $f(x) 0$函數(shù)遞減。也就是說這個(gè)函數(shù)在 $x e$ 處取得最大值。記住這個(gè)結(jié)論很多比較大小的題目都能秒殺。這道題里如果出現(xiàn)了類似結(jié)構(gòu)直接套用即可。3.4 第四步驗(yàn)證選項(xiàng)鎖定答案算出大小關(guān)系之后最后一步是對照選項(xiàng)。這一步看似簡單但有個(gè)坑有些選項(xiàng)的表述是充分不必要或者必要不充分的如果你只驗(yàn)證了大小關(guān)系沒有仔細(xì)讀選項(xiàng)的措辭可能會選錯。我的做法是把四個(gè)選項(xiàng)逐一對照自己算出的大小關(guān)系能直接排除的立刻劃掉剩下的選項(xiàng)如果表述上有細(xì)微差別就回到題目條件再確認(rèn)一遍。選擇題的壓軸題往往在選項(xiàng)措辭上做文章讀題要慢下筆要快。4. 考場上的時(shí)間分配與取舍策略4.1 這道題應(yīng)該花多少時(shí)間選擇題第十二題是壓軸選擇難度定位就是大部分同學(xué)做不出來或者做得很慢。所以時(shí)間分配上要有清醒的認(rèn)識如果三分鐘內(nèi)沒有清晰的思路果斷跳過先把后面的題做完再回來。我見過太多同學(xué)在這道題上死磕十分鐘結(jié)果后面的大題沒時(shí)間做因小失大。選擇題一道題5分大題一道題12分時(shí)間應(yīng)該優(yōu)先給大題。這道題的正確策略是第一遍快速掃一眼有思路就做沒思路就標(biāo)記跳過等所有題都做完一遍之后再回來集中攻克。如果回來之后還是沒思路那就用特殊值法或排除法蒙一個(gè)。選擇題的好處是有選項(xiàng)可以參考哪怕不會做也有25%的蒙對概率。但蒙也要蒙得有技術(shù)含量——先排除掉明顯不可能的選項(xiàng)在剩下的里面選。4.2 特殊值法在這道題上的應(yīng)用特殊值法是選擇題的作弊器用好了能省大量時(shí)間。具體到這道題如果題目中的量含有參數(shù)或者可以取特殊值那就代入幾個(gè)好算的數(shù)試試。比如如果題目涉及的是 $\log_2 3$ 和 $\log_3 4$ 這類量你可以代入一些近似值來估算$\log_2 3 \approx 1.585$$\log_3 4 \approx 1.262$。有了近似值大小關(guān)系一目了然。當(dāng)然特殊值法只能用來驗(yàn)證或排除不能作為嚴(yán)格的證明過程。但在考場上選擇題只需要選對答案不需要寫過程所以特殊值法是完全合法的應(yīng)試手段。提示用特殊值法的時(shí)候要注意選取的值不能太特殊否則可能恰好落在臨界點(diǎn)上導(dǎo)致判斷錯誤。最好選兩到三組不同的值交叉驗(yàn)證。4.3 排除法的使用技巧排除法的核心是找反例。對于每個(gè)選項(xiàng)嘗試構(gòu)造一個(gè)滿足題目條件但不滿足該選項(xiàng)的例子。如果能構(gòu)造出來這個(gè)選項(xiàng)就是錯的。這道題的選項(xiàng)設(shè)計(jì)通常會有兩個(gè)明顯錯、一個(gè)迷惑項(xiàng)、一個(gè)正確項(xiàng)。明顯錯的選項(xiàng)往往在數(shù)值范圍上就有問題比如把大于寫成小于或者把兩個(gè)量的順序搞反。迷惑項(xiàng)則通常是在臨界值附近做文章需要精確計(jì)算才能排除。我的建議是先用排除法干掉兩個(gè)明顯錯的然后在剩下的兩個(gè)里面選。如果時(shí)間充裕就精確計(jì)算確認(rèn)如果時(shí)間緊張就憑直覺選一個(gè)——但直覺也要建立在平時(shí)大量練習(xí)的基礎(chǔ)上。5. 這類題目的通用解題框架5.1 對數(shù)比較大小題的三步走流程做了足夠多的題之后我總結(jié)出一個(gè)通用的三步走流程適用于絕大多數(shù)對數(shù)比較大小的題目第一步統(tǒng)一形式。把所有對數(shù)換成同一底數(shù)能化簡的化簡到底。這一步的目標(biāo)是讓所有量長得像方便后續(xù)比較。第二步粗判范圍。用估算或找中間量的方法先把每個(gè)量的大致范圍確定下來。比如某個(gè)量在1到2之間另一個(gè)在2到3之間那大小關(guān)系立刻就有了。第三步精算確認(rèn)。對于范圍重疊、無法粗判的量用作差、作商或構(gòu)造函數(shù)的方法精確比較。這一步是硬功夫需要扎實(shí)的運(yùn)算能力。這三步走下來90%以上的對數(shù)比較大小題都能解決。剩下的10%是命題人故意設(shè)置的陷阱題需要額外的技巧但那些題在高考中出現(xiàn)的頻率很低。5.2 常見陷阱與規(guī)避方法對數(shù)比較大小的題目命題人最喜歡設(shè)置的陷阱有這么幾個(gè)陷阱一底數(shù)在0到1之間。當(dāng)?shù)讛?shù) $0 a 1$ 時(shí)對數(shù)函數(shù)是遞減的很多同學(xué)習(xí)慣性地按遞增來處理導(dǎo)致不等號方向搞反。規(guī)避方法每次看到對數(shù)先確認(rèn)底數(shù)是大于1還是小于1。陷阱二真數(shù)含有變量或表達(dá)式。真數(shù)不是簡單的數(shù)字而是一個(gè)表達(dá)式時(shí)需要先判斷這個(gè)表達(dá)式的正負(fù)和范圍。規(guī)避方法先分析真數(shù)的取值范圍再比較對數(shù)。陷阱三選項(xiàng)之間的差異極小。命題人故意把兩個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值設(shè)得非常接近靠估算無法區(qū)分。規(guī)避方法遇到這種情況必須精確計(jì)算不能偷懶。陷阱四題目條件中的隱含信息。有些題目會在條件里埋一個(gè)所有量都大于1或者所有量都小于1的信息這個(gè)信息往往能大幅簡化比較過程。規(guī)避方法讀題時(shí)把每個(gè)條件都圈出來不要漏掉。5.3 從這道題能學(xué)到什么通用能力這道題表面上考的是對數(shù)運(yùn)算實(shí)際上考的是三種能力第一種是形式轉(zhuǎn)化能力。把不同形式的量統(tǒng)一成同一種形式這是數(shù)學(xué)中極其重要的思想方法。不只是對數(shù)題很多代數(shù)題、幾何題都用到這個(gè)思想。第二種是策略選擇能力。面對一個(gè)問題知道有哪幾種方法可用并且能快速判斷哪種方法最有效。這種能力不是天生的是靠大量練習(xí)積累出來的題感。第三種是精確計(jì)算能力。思路對了但算錯了等于零。高考數(shù)學(xué)對計(jì)算能力的要求很高平時(shí)練習(xí)時(shí)一定要動手算不能只看不算。這三種能力不僅對高考有用對以后學(xué)習(xí)更高級的數(shù)學(xué)也至關(guān)重要。所以這道題值得反復(fù)琢磨不是做完一遍就扔。6. 常見問題與排查技巧實(shí)錄6.1 換底之后越算越復(fù)雜怎么辦這是很多同學(xué)的通病。換底公式用完之后式子變得很長然后就開始硬算越算越亂。我的排查思路是換底之后先別急著算先觀察有沒有可以約分或合并的項(xiàng)。比如 $\frac{\ln 8}{\ln 2}$不要急著算 $\ln 8$ 和 $\ln 2$ 的近似值先看出 $\ln 8 3\ln 2$直接約掉得3。這種先化簡再計(jì)算的習(xí)慣能省大量時(shí)間。如果換底之后確實(shí)沒有明顯的化簡空間那就考慮換一種底數(shù)試試。有時(shí)候換自然對數(shù)很復(fù)雜換成以某個(gè)題目中出現(xiàn)的數(shù)為底反而能約掉很多項(xiàng)。6.2 中間量選不好導(dǎo)致繞遠(yuǎn)路找中間量的時(shí)候選1還是選0選 $\frac{1}{2}$ 還是選 $\frac{3}{2}$會直接影響后續(xù)的難度。我的經(jīng)驗(yàn)是優(yōu)先選1。因?yàn)?在對數(shù)運(yùn)算中有特殊地位——$\log_a a 1$很多對數(shù)式天然就能和1比較。如果1不好用再考慮選0或者其他的數(shù)。另外中間量不一定只能選一個(gè)。有時(shí)候需要選兩個(gè)中間量把范圍卡得更緊。比如證明 $A B$可以先證明 $A 1$ 且 $B 1$一步到位。如果 $A$ 和 $B$ 都在1附近那就需要更精細(xì)的中間量。6.3 考場上緊張導(dǎo)致計(jì)算失誤這是最可惜的失分原因。明明思路是對的但一緊張把 $\ln 2$ 算成了0.693以外的數(shù)或者把不等號方向搞反了。我的建議是平時(shí)練習(xí)時(shí)就要模擬考場環(huán)境限時(shí)做題做完之后自己批改。這樣到了真正考試的時(shí)候心態(tài)會穩(wěn)很多。另外計(jì)算的時(shí)候盡量寫清楚步驟不要跳步。跳步是計(jì)算失誤的最大來源。如果考場上真的緊張到腦子一片空白那就先深呼吸把題目重新讀一遍從最簡單的部分開始做。做出一道小題之后信心會慢慢回來。6.4 常見錯誤速查表錯誤類型具體表現(xiàn)糾正方法底數(shù)判斷錯誤把 $0a1$ 的遞減當(dāng)成遞增每次先確認(rèn)底數(shù)范圍換底不化簡換底后直接硬算浪費(fèi)時(shí)間先觀察約分和合并的可能中間量選錯選了不好用的中間量繞遠(yuǎn)路優(yōu)先選1其次選0作商忘判正負(fù)分母為負(fù)時(shí)不等號方向搞反作商前先確認(rèn)分母正負(fù)選項(xiàng)讀錯把充分和必要搞混讀選項(xiàng)時(shí)圈出關(guān)鍵詞計(jì)算跳步心算導(dǎo)致低級錯誤寫清楚每一步不跳步這張表里的每一條都是我在實(shí)際教學(xué)和做題中反復(fù)見到的。你可以把它打印出來貼在書桌上每次做錯題就對照一下看看自己踩了哪個(gè)坑。6.5 一個(gè)容易被忽略的提分技巧最后分享一個(gè)我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)把這道題的解題過程完整地講給別人聽。找一個(gè)同學(xué)或者對著空氣把這道題從讀題到選答案的全過程講一遍。講的過程中你會發(fā)現(xiàn)自己哪些地方其實(shí)沒想清楚哪些地方是蒙過去的。這個(gè)方法叫費(fèi)曼學(xué)習(xí)法核心原理是輸出倒逼輸入。你以為自己會了但一講就卡殼說明你其實(shí)沒真會。講一遍之后再回頭補(bǔ)上卡殼的地方這道題才算真正吃透。我在帶學(xué)生的時(shí)候經(jīng)常讓他們互相講題。講得清楚的同學(xué)考試時(shí)這類題基本不會錯講不清楚的往往就是考場上失分的那批人。所以別偷懶講出來。7. 從這道題延伸出去的復(fù)習(xí)建議7.1 對數(shù)專題的復(fù)習(xí)重點(diǎn)如果你在做這道題的時(shí)候感到吃力說明對數(shù)這一塊的基礎(chǔ)還不夠扎實(shí)。我的建議是花兩到三天時(shí)間專門攻克對數(shù)專題。重點(diǎn)復(fù)習(xí)以下內(nèi)容對數(shù)的定義和基本性質(zhì)包括換底公式對數(shù)函數(shù)的圖像和單調(diào)性對數(shù)方程和對數(shù)不等式的解法對數(shù)與指數(shù)的互化對數(shù)在比較大小中的應(yīng)用復(fù)習(xí)的時(shí)候不要只看不練。每復(fù)習(xí)一個(gè)知識點(diǎn)就找五到十道對應(yīng)的題目練手。練完之后對答案錯的題標(biāo)記出來第二天再做一遍。7.2 比較大小題型的專項(xiàng)訓(xùn)練比較大小是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)不只出現(xiàn)在對數(shù)題里指數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)都可能涉及。建議做一次專項(xiàng)訓(xùn)練把近五年的高考真題和模擬題中所有比較大小的題目集中做一遍。做的時(shí)候注意總結(jié)哪些題用作差法哪些用作商法哪些用中間量哪些用構(gòu)造函數(shù)?？偨Y(jié)出規(guī)律之后你會發(fā)現(xiàn)這類題其實(shí)套路很固定。7.3 考場心態(tài)的調(diào)整方法最后說一點(diǎn)心態(tài)上的東西。選擇題第十二題做不出來是正常的做出來是賺到的。不要因?yàn)檫@一道題影響后面的發(fā)揮。我的建議是把這道題當(dāng)成加分題而不是必得分題。心態(tài)放平之后反而更容易想出思路?？紙錾献钆碌木褪沁@道題我必須做出來的執(zhí)念執(zhí)念一起腦子就僵住了。平時(shí)練習(xí)的時(shí)候可以刻意訓(xùn)練自己跳過難題的能力。遇到卡殼的題果斷標(biāo)記跳過做完后面的再回來。這種戰(zhàn)略性放棄的能力往往比多做對一道題更重要。這道2020年的選擇題放到今天來看依然是一道很好的練習(xí)題。它不偏不怪考的都是核心知識點(diǎn)但就是能把你卡住。這種題值得反復(fù)做反復(fù)琢磨。等你哪天能把它的每一步都講得清清楚楚你對對數(shù)運(yùn)算的理解就上了一個(gè)臺階。