1. 從歐氏空間到酉空間內(nèi)積的復(fù)數(shù)化改了什么高等代數(shù)講到度量線性空間這一章前面的歐氏空間相對(duì)好接受畢竟是實(shí)數(shù)域長度、夾角都有幾何直覺兜底。到了酉空間不少同學(xué)開始蒙圈——內(nèi)積的對(duì)稱性變成了共軛對(duì)稱性第一變元是共軛線性的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的度量矩陣成了埃爾米特矩陣。一系列復(fù)數(shù)版概念涌過來最本質(zhì)的東西其實(shí)是同一個(gè)我們?nèi)匀辉诿枋鲩L度和夾角只是換到了復(fù)數(shù)域。為什么非要有這么一套理論因?yàn)閷?shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域里可能沒有根但特征多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域里一定可以分解成一次因式。這一條代數(shù)基本定理直接決定了復(fù)線性變換的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比實(shí)線性變換簡單。正交變換在歐氏空間里沒那么容易對(duì)角化但酉變換在酉空間里總是可以幺正對(duì)角化即通過酉矩陣化為對(duì)角形。讀這一節(jié)時(shí)腦子里始終要有一條主線酉空間 復(fù)線性空間 一個(gè)帶共軛的內(nèi)積而酉變換、埃爾米特變換、正規(guī)變換都是從這個(gè)內(nèi)積出發(fā)長出來的特殊變換類。1.1 內(nèi)積定義的四個(gè)條件哪一條變了設(shè) (V) 是復(fù)數(shù)域 (\mathbb{C}) 上的線性空間。(V) 上內(nèi)積定義為滿足下面條件的二元函數(shù) (\langle x,y\rangle)共軛對(duì)稱性(\langle x,y\rangle\overline{\langle y,x\rangle})對(duì)第一變元線性(\langle kx,y\ranglek\langle x,y\rangle)(\langle xy,z\rangle\langle x,z\rangle\langle y,z\rangle)正定性(\langle x,x\rangle\ge 0)且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) (x0)。和歐氏空間內(nèi)積分歧最大的一處就是共軛對(duì)稱性。實(shí)數(shù)域里 (\langle x,y\rangle\langle y,x\rangle)因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛等于自己但復(fù)數(shù)不行(\langle x,y\rangle) 和 (\langle y,x\rangle) 是共軛關(guān)系。這個(gè)變化帶來的連鎖反應(yīng)是如果對(duì)第二變元取線性會(huì)少一個(gè)共軛。事實(shí)上由共軛對(duì)稱性和第一變元線性可以推出對(duì)第二變元是共軛線性的即 (\langle x,ky\rangle\overline{k}\langle x,y\rangle)。這是酉空間內(nèi)積最容易被忽略的運(yùn)算規(guī)則——提取第二個(gè)變元的常數(shù)因子時(shí)要提取它的共軛。很多人在這里問為什么不能規(guī)定對(duì)兩個(gè)變元都線性答案是那樣無法保證 (\langle x,x\rangle) 一定是個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。正定性要求 (\langle x,x\rangle) 必須是實(shí)數(shù)而 (\langle x,x\rangle\overline{\langle x,x\rangle}) 自動(dòng)推出它是實(shí)數(shù)這個(gè)性質(zhì)嚴(yán)重依賴第一條共軛對(duì)稱性。所以一邊線性、一邊共軛線性不是約定俗成而是邏輯必然。1.2 度量矩陣從對(duì)稱矩陣變成埃爾米特矩陣取酉空間 (V) 的一組基 (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n)令[ a_{ij}\langle \varepsilon_i,\varepsilon_j\rangle ]則矩陣 (A(a_{ij})) 稱為這組基下的度量矩陣。由共軛對(duì)稱性可知 (a_{ij}\overline{a_{ji}})即 (A^{}A)這就是埃爾米特矩陣。同時(shí)正定性要求對(duì)任意非零坐標(biāo)向量 (x)都有 (x^{}Ax\ge 0)稱之為正定埃爾米特矩陣。理解這一步很關(guān)鍵歐氏空間里度量矩陣是對(duì)稱矩陣酉空間里度量矩陣是埃爾米特矩陣兩者邏輯位置完全平行。以后遇到的結(jié)論幾乎都可以按這個(gè)平行關(guān)系去對(duì)照記憶。比如兩組基下度量矩陣的合同關(guān)系實(shí)數(shù)域?qū)?(BC^{T}AC)復(fù)數(shù)域?qū)?(BC^{*}AC)。一個(gè)經(jīng)常被忽略的小細(xì)節(jié)坐標(biāo)向量的內(nèi)積公式在酉空間里是 (\langle x,y\rangle\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{y})注意是 (x) 的共軛轉(zhuǎn)置乘以 (A) 再乘以 (y)而不是 (x^{T})。很多題目做錯(cuò)都錯(cuò)在這一步。2. 酉空間的基本幾何長度不變但夾角的意義變了有了內(nèi)積就可以定義向量的長度[ |x|\sqrt{\langle x,x\rangle} ]注意 (\langle x,x\rangle) 是正實(shí)數(shù)所以開方?jīng)]有問題。兩個(gè)向量 (x,y) 的夾角則通過[ \cos\theta\frac{\operatorname{Re}\langle x,y\rangle}{|x||y|} ]來定義。這里和歐氏空間有一點(diǎn)微妙差異復(fù)數(shù)域上 (\langle x,y\rangle) 一般是復(fù)數(shù)其余弦值未必落在 ([-1,1])所以余弦定理敘述起來很別扭。好在高等代數(shù)課程里很少真正用夾角做什么核心在標(biāo)準(zhǔn)正交基和酉對(duì)角化所以不用把過多精力放在幾何直覺上。2.1 標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性施密特正交化還是那套酉空間是否一定有標(biāo)準(zhǔn)正交基答案是肯定的方法就是復(fù)的施密特正交化。步驟和歐氏空間一模一樣唯一的區(qū)別是投影系數(shù)里要取共軛[ \beta_k\alpha_k-\sum_{j1}^{k-1}\langle \alpha_k,\beta_j\rangle注意這里投影系數(shù)是 (\alpha_k,\beta_j)/(\beta_j,\beta_j) 需要用共軛 ]經(jīng)常有同學(xué)在復(fù)正交化時(shí)算錯(cuò)系數(shù)。記住一個(gè)口訣計(jì)算 (\langle \alpha_k,\beta_j\rangle) 時(shí)第一個(gè)變元是 (\alpha_k)第二個(gè)是 (\beta_j)但是當(dāng)把系數(shù)乘回 (\beta_j) 時(shí)這個(gè)系數(shù)恰好是上述內(nèi)積除以 (|\beta_j|^2) 的復(fù)數(shù)不用再取共軛。實(shí)際上由內(nèi)積第一變元線性(\langle \alpha_k-\sum c_j\beta_j,\beta_i\rangle0) 解出 (c_i\frac{\langle \alpha_k,\beta_i\rangle}{\langle \beta_i,\beta_i\rangle})。整個(gè)過程和實(shí)數(shù)的區(qū)別只是算內(nèi)積的時(shí)候多一道共軛其他沒什么兩樣。2.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)與 Parseval 恒等式若 (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) 是標(biāo)準(zhǔn)正交基則任意向量 (x) 有[ x\sum_{i1}^{n}\langle x,\varepsilon_i\rangle\varepsilon_i ]于是[ |x|^2\sum_{i1}^{n}|\langle x,\varepsilon_i\rangle|^2 ]這個(gè)式子也叫 Parseval 恒等式常用于把內(nèi)積計(jì)算化歸為坐標(biāo)向量的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。在酉空間里它是 (\sum |z_i|^2)而不是 (\sum z_i^2)。這一點(diǎn)看似簡單卻是后續(xù)證明中最常用的工具只要選定標(biāo)準(zhǔn)正交基內(nèi)積就化為標(biāo)準(zhǔn)的 (\sum x_i\overline{y_i})復(fù)雜的變換就變成了矩陣運(yùn)算。標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在還帶來一個(gè)直接結(jié)論任何正定埃爾米特矩陣 (A)都存在可逆矩陣 (C) 使得 (C^{*}ACI)。這對(duì)應(yīng)歐氏空間里正定對(duì)稱矩陣合同于單位矩陣的復(fù)數(shù)版本。證明思路也是選取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)造過渡矩陣。3. 酉變換保持內(nèi)積的復(fù)線性變換定義不復(fù)雜酉空間 (V) 上的線性變換 (\mathcal{U}) 若滿足[ \langle \mathcal{U}x,\mathcal{U}y\rangle\langle x,y\rangle,\quad \forall x,y\in V ]就稱為酉變換。這是正交變換在復(fù)數(shù)域上的平行概念。因?yàn)閮?nèi)積不變所以長度、正交性、標(biāo)準(zhǔn)正交基全部保持幾何上勉強(qiáng)可以理解為復(fù)空間中的剛性變換。3.1 酉變換的等價(jià)條件一個(gè)比一個(gè)好記判別一個(gè)線性變換是不是酉變換可以從很多側(cè)面看。最常用的是下面幾條等價(jià)條件(\mathcal{U}) 保持內(nèi)積(\mathcal{U}) 保持長度即 (|\mathcal{U}x||x|) 對(duì)所有 (x) 成立(\mathcal{U}) 把標(biāo)準(zhǔn)正交基映為標(biāo)準(zhǔn)正交基(\mathcal{U}) 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣 (U) 滿足 (U^{}UI)即 (U^{}U^{-1})。這里特別推薦保持長度等價(jià)于保持內(nèi)積這條。證明用極化恒等式復(fù)版本[ \langle x,y\rangle\frac{1}{4}\left(|xy|^2-|x-y|^2i|xiy|^2-i|x-iy|^2\right) ]只要等式右邊每一塊的范數(shù)都不變左邊自然不變。實(shí)數(shù)版本沒有最后兩項(xiàng)帶虛數(shù)的部分而復(fù)版本必須有這幾項(xiàng)才能湊出完整的實(shí)部和虛部。平時(shí)做選擇題判斷一個(gè)復(fù)矩陣是否酉矩陣最推薦直接算 (U^{*}U) 是否等于 (I)這個(gè)方法最穩(wěn)也最省事。3.2 酉矩陣的結(jié)構(gòu)列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交基在標(biāo)準(zhǔn)正交基下酉變換對(duì)應(yīng)的矩陣 (U) 稱為酉矩陣。展開 (U^{}UI)對(duì)角線上的元素就是各列向量與自己內(nèi)積的模平方非對(duì)角線元素是不同列向量的內(nèi)積。所以條件 (U^{}UI) 等價(jià)于說酉矩陣的列向量構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。由于 (U^{*}U^{-1})同時(shí)可以推出行向量也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。酉矩陣的典型例子非常多對(duì)角元模長為1的對(duì)角矩陣比如 (\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2},\dots,e^{i\theta_n}))再比如[ \begin{pmatrix} \cos\theta -\sin\theta \ \sin\theta \cos\theta \end{pmatrix} ]只是現(xiàn)在允許 (\theta) 取任意實(shí)數(shù)。復(fù)數(shù)域上的旋轉(zhuǎn)矩陣和實(shí)數(shù)版形式上幾乎一樣只是過去它描述的是平面旋轉(zhuǎn)現(xiàn)在依然是某種角度意義上的變換。3.3 酉變換的特征值為什么都是模長為1設(shè) (\lambda) 是酉變換 (\mathcal{U}) 的特征值對(duì)應(yīng)單位特征向量 (x)即 (|x|1)。由內(nèi)積保持性[ \langle \mathcal{U}x,\mathcal{U}x\rangle\langle \lambda x,\lambda x\rangle|\lambda|^2\langle x,x\rangle ]而左邊等于 (\langle x,x\rangle)所以 (|\lambda|^21)。這是酉變換最重要的譜性質(zhì)比正交變換實(shí)特征值為 (\pm1)來得更干凈——因?yàn)閺?fù)數(shù)域上特征值未必是實(shí)數(shù)所以用模長1來描述。更妙的是酉變換在復(fù)數(shù)域上必定可以酉對(duì)角化。這和實(shí)正交變換不同實(shí)正交矩陣的特征多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上未必能全部分解但復(fù)數(shù)域上肯定能所以酉變換的可對(duì)角化性質(zhì)是天然的。后面講正規(guī)變換時(shí)會(huì)看到酉變換只是正規(guī)變換的特例而正規(guī)變換的核心定理正是酉對(duì)角化。4. 埃爾米特變換與埃爾米特矩陣復(fù)數(shù)域的實(shí)對(duì)稱每當(dāng)遇到一個(gè)新的變換類我總是先問它在標(biāo)準(zhǔn)正交基下對(duì)應(yīng)的矩陣是什么樣埃爾米特變換的定義是[ \langle \mathcal{A}x,y\rangle\langle x,\mathcal{A}y\rangle,\quad \forall x,y\in V ]在標(biāo)準(zhǔn)正交基下取矩陣 (A)可以推出 (A^{*}A)即 (A) 是埃爾米特矩陣。所以埃爾米特變換與埃爾米特矩陣是一一對(duì)應(yīng)的。從結(jié)構(gòu)上看它相當(dāng)于實(shí)對(duì)稱變換在復(fù)數(shù)域的升級(jí)版。4.1 為什么埃爾米特矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)這是本節(jié)最漂亮的一個(gè)結(jié)論。設(shè) (\lambda) 是埃爾米特矩陣 (A) 的特征值(x) 是特征向量且 (|x|1)。則[ \lambda\lambda\langle x,x\rangle\langle \lambda x,x\rangle\langle Ax,x\rangle ]而另一方面[ \overline{\lambda}\langle x,\lambda x\rangle\langle x,Ax\rangle\langle Ax,x\rangle\lambda ]注意這里第三步用了埃爾米特矩陣的定義 (\langle Ax,x\rangle\langle x,Ax\rangle)。所以 (\lambda\overline{\lambda})即 (\lambda) 是實(shí)數(shù)。這個(gè)證明簡潔、優(yōu)美、必須背下來。考試?？嫉木褪桥c本題類似的一個(gè)變體證明埃爾米特矩陣的屬于不同特征值的特征向量在不同特征值下互相正交。設(shè) (\lambda_1\neq\lambda_2)由[ \lambda_1\langle x,y\rangle\langle Ax,y\rangle\langle x,Ay\rangle\lambda_2\langle x,y\rangle ]而 (\lambda_1,\lambda_2) 都是復(fù)數(shù)注意這一步要把第二個(gè) (\lambda_2) 取共軛處理但因?yàn)槲覀円炎C明 (\lambda_2) 是實(shí)數(shù)所以可以直接提出得到 ((\lambda_1-\lambda_2)\langle x,y\rangle0)從而 (\langle x,y\rangle0)。4.2 反埃爾米特變換與酉變換中的指數(shù)映射與埃爾米特變換平行的還有反埃爾米特變換[ \mathcal{B}^{*}-\mathcal{B} ]對(duì)應(yīng)矩陣滿足 (B^{*}-B)。它在物理和微分方程里隨處可見例如波動(dòng)方程的時(shí)間演化算子經(jīng)常寫成這種形式。它和酉變換之間有一個(gè)非常優(yōu)雅的聯(lián)系如果 (B) 是反埃爾米特矩陣那么 (e^{B})矩陣指數(shù)是酉矩陣。反過來任意酉矩陣 (U) 都可以寫成 (e^{B}) 的形式其中 (B) 是反埃爾米特矩陣。有興趣的讀者不妨驗(yàn)證一個(gè)方向若 (B^{*}-B)則[ (e^{B})^{}e^{B^{}}e^{-B}(e^{B})^{-1} ]所以 (e^{B}) 是酉矩陣。這不是考試重點(diǎn)但它能幫你理解為什么酉變換的特征值都落在單位圓上——指數(shù)函數(shù)把純虛數(shù)映到模長為1的復(fù)數(shù)和景一致。5. 正規(guī)變換將酉、埃爾米特、反埃爾米特統(tǒng)一起來的框架到這一步我們已經(jīng)有了酉變換特征值模長1、埃爾米特變換特征值實(shí)數(shù)、反埃爾米特變換特征值純虛數(shù)。三種變換的共同點(diǎn)是都可以被酉對(duì)角化。能不能把它們統(tǒng)一在一個(gè)概念之下這就是正規(guī)變換的作用。定義復(fù)方陣 (A) 稱為正規(guī)矩陣如果[ A^{}AAA^{} ]線性變換的版本類似(\mathcal{A}^{}\mathcal{A}\mathcal{A}\mathcal{A}^{})。題目里判斷一個(gè)矩陣是否正規(guī)最直接的方法就是算兩個(gè)乘積看看是否相等。5.1 為什么正規(guī)可以推出酉對(duì)角化正規(guī)矩陣最重要的性質(zhì)是存在酉矩陣 (U)使得 (U^{*}AU) 為對(duì)角矩陣。反之也成立如果一個(gè)復(fù)矩陣可以被某個(gè)酉矩陣對(duì)角化那它必然是正規(guī)矩陣。所以正規(guī)矩陣等價(jià)于可酉對(duì)角化這是本節(jié)所有定理的頂點(diǎn)。證明思路值得梳理一下因?yàn)楹芏嘧C明題會(huì)用到中間引理。大致分成三步正規(guī)矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交。不妨設(shè) (Ax\lambda x)(Ay\mu y)(\lambda\neq\mu)。關(guān)鍵的一步是證明 (A^{}y\overline{\mu}y)即 (y) 也是 (A^{}) 的特征向量。計(jì)算 [ |A^{}y-\overline{\mu}y|^2\langle A^{}y-\overline{\mu}y,A^{}y-\overline{\mu}y\rangle ] 利用 (A^{}AAA^{*}) 展開可以算出等于0。這一步是正規(guī)性的核心用途沒有它整個(gè)證明無法展開。如果正規(guī)矩陣有一個(gè)不變子空間那么它的正交補(bǔ)也是不變子空間。這個(gè)性質(zhì)來自 (A^{*}) 與 (A) 可交換的性質(zhì)。歸納法。取一個(gè)特征向量張成不變子空間反復(fù)使用第2步最后把所有特征向量拼成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。這套證明邏輯在書中通常放在定理的證明里考研復(fù)試或高代討論班常會(huì)問為什么正規(guī)矩陣可以酉對(duì)角化能完整說出這三步基本就是過關(guān)了。5.2 三類特殊變換如何統(tǒng)一現(xiàn)在回到這個(gè)框架里看若 (A^{}AAA^{}) 且 (A^{*}A^{-1})即酉矩陣則它是正規(guī)矩陣特征值模長1若 (A^{}AAA^{}) 且 (A^{*}A)即埃爾米特矩陣則它是正規(guī)矩陣特征值實(shí)數(shù)若 (A^{}AAA^{}) 且 (A^{*}-A)即反埃爾米特矩陣則它是正規(guī)矩陣特征值純虛數(shù)。下面這個(gè)表可以幫你快速對(duì)照記憶變換類型矩陣條件特征值分布是否正規(guī)酉變換(U^{*}UI)(|\lambda|1)是埃爾米特變換(A^{*}A)(\lambda\in\mathbb{R})是反埃爾米特變換(B^{*}-B)(\operatorname{Re}\lambda0)是一般正規(guī)變換(A^{}AAA^{})無特殊限制是注意普通復(fù)矩陣即使可以對(duì)角化也不一定能用酉矩陣對(duì)角化。比如[ A\begin{pmatrix} 1 1\ 0 1 \end{pmatrix} ]它有重特征值且不可對(duì)角化屬于明顯的反例。而[ B\begin{pmatrix} 1 1\ 0 2 \end{pmatrix} ]可以對(duì)角化但 (B^{}B\neq BB^{})所以不能酉對(duì)角化。這說明酉對(duì)角化要求比普通對(duì)角化更強(qiáng)背后是特征向量必須互相正交這套額外的結(jié)構(gòu)要求。6. 解題實(shí)戰(zhàn)酉空間典型題型與易錯(cuò)點(diǎn)到了這一節(jié)把考點(diǎn)和常見問題整理一遍你會(huì)發(fā)現(xiàn)每年課程考試或考研題里的高頻題型其實(shí)很固定。6.1 判斷一個(gè)矩陣是否正規(guī)先算 (A^A) 和 (AA^)判斷步驟非常簡單算出 (A^{*})先轉(zhuǎn)置再逐元素共軛分別計(jì)算 (A^{}A) 和 (AA^{})比較兩個(gè)乘積是否相等。一個(gè)課上經(jīng)常出現(xiàn)的等價(jià)結(jié)論是對(duì)任意方陣 (A)均有[ \operatorname{tr}(A^{*}A)\sum_{i,j}|a_{ij}|^2 ]若 (A) 正規(guī)則 (A^{}A) 和 (AA^{}) 都是非負(fù)定埃爾米特矩陣且跡相等這可以用來快速排除明顯非正規(guī)的矩陣。但如果兩個(gè)乘積算出來都是對(duì)角矩陣就很可能正規(guī)再仔細(xì)驗(yàn)證即可。6.2 構(gòu)造反例不可酉對(duì)角化卻可對(duì)角化很多同學(xué)剛學(xué)完譜定理會(huì)錯(cuò)誤地以為能對(duì)角化和能酉對(duì)角化是一回事。這里給一個(gè)最常見的反例[ A\begin{pmatrix} 1 1\ 0 2 \end{pmatrix} ]特征值是1和2顯然可以對(duì)角化[ AP^{-1}\operatorname{diag}(1,2)P ]但算一下[ A^{*}A\begin{pmatrix} 1 0\ 1 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 1\ 0 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 1\ 1 5 \end{pmatrix} ]而[ AA^{*}\begin{pmatrix} 1 1\ 0 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 0\ 1 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 2\ 2 4 \end{pmatrix} ]兩個(gè)乘積不相同所以 (A) 不是正規(guī)矩陣也就不可能通過酉矩陣化為對(duì)角形。這個(gè)例子建議反復(fù)手算一遍理解特征向量是否正交才是關(guān)鍵。6.3 利用特征值快速判斷變換類型有一類題目給一個(gè)具體的復(fù)矩陣 (A)問它能否酉對(duì)角化、特征值有什么分布、是不是酉矩陣等等。這類題可以從特征值的分布快速入手若 (A) 是埃爾米特矩陣則特征值實(shí)數(shù)可以直接考慮對(duì)角矩陣 (\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n))若 (A) 是酉矩陣則特征值模長為1對(duì)角矩陣的每個(gè)對(duì)角元都在單位圓周上若 (A) 是正規(guī)矩陣則特征值沒什么限制但特征向量必須構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基。在實(shí)際解題過程中算特征多項(xiàng)式、解特征向量、做施密特正交化這三件套在酉空間題型里的出現(xiàn)頻率極高。得多練幾道形成肌肉記憶。6.4 一個(gè)高頻證明題埃爾米特變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是埃爾米特矩陣題目常以文字表述為若 (\mathcal{A}) 是酉空間上的埃爾米特變換證明它在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣滿足 (A^{*}A)。證明思路設(shè) (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n) 是標(biāo)準(zhǔn)正交基令 (A(a_{ij}))其中[ a_{ij}\langle \mathcal{A}\varepsilon_j,\varepsilon_i\rangle ]由埃爾米特變換的定義[ \overline{a_{ji}}\overline{\langle \mathcal{A}\varepsilon_i,\varepsilon_j\rangle} \langle \varepsilon_j,\mathcal{A}\varepsilon_i\rangle \langle \mathcal{A}^*\varepsilon_j,\varepsilon_i\rangle \langle \mathcal{A}\varepsilon_j,\varepsilon_i\ranglea_{ij} ]所以 (A^{}A)。這個(gè)等式鏈條里最關(guān)鍵的是第三步用到 (\mathcal{A}^{}\mathcal{A})第四步回到矩陣元素定義。這類證明幾乎不需要計(jì)算但每一步都要明白依據(jù)是內(nèi)積的共軛對(duì)稱性、線性還是埃爾米特性質(zhì)。6.5 審題時(shí)的三個(gè)坑最后分享三個(gè)實(shí)際解題中容易踩的坑都是我在教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)過的。坑一把 (\langle x,y\rangle) 和 (\overline{\langle x,y\rangle}) 混為一談。在復(fù)數(shù)域里(\langle x,y\rangle) 和 (\langle y,x\rangle) 并不是同一個(gè)數(shù)而是共軛關(guān)系。遇到提取常數(shù)時(shí)尤其要小心從第一變元提取是原樣提取從第二變元提取要取共軛。很多同學(xué)題目算到最后發(fā)現(xiàn)實(shí)部虛部對(duì)不上多半都是這里出了問題。坑二忘記酉矩陣的行向量也要構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基。我見過不少同學(xué)只驗(yàn)證列向量卻忽略了 (U^{}UI) 同時(shí)意味著 (UU^{}I)。驗(yàn)證行向量與列向量都正交很有必要特別是在做矩陣的 QR 分解或酉相似變換時(shí)行方向一旦出錯(cuò)后續(xù)全亂。坑三把正規(guī)和可對(duì)角化劃等號(hào)。可對(duì)角化只要求存在可逆矩陣 (P)而酉對(duì)角化要求存在酉矩陣 (U)后者對(duì)特征向量有正交性要求。題目問能否被酉矩陣對(duì)角化必須用正規(guī)性來判斷不能只算特征值。這些坑平時(shí)做題未必能全部踩到但考試時(shí)一旦踩中丟分往往是大面積的。所以寫題目的時(shí)候我習(xí)慣在草稿紙開頭就寫清楚這是酉空間還是歐氏空間再?zèng)Q定用什么公式——很多時(shí)候錯(cuò)誤不是不會(huì)做而是空間性質(zhì)判斷錯(cuò)了導(dǎo)致整套計(jì)算跑偏。