平價(jià)：從公式推導(dǎo)到Python驗(yàn)證)
1. 從零拆解PCP平價(jià)編程視角下的期權(quán)定價(jià)核心邏輯1.1 為什么一個(gè)寫代碼的人要關(guān)心“平價(jià)關(guān)系”我最早接觸期權(quán)的時(shí)候滿腦子都是“波動(dòng)率”“希臘字母”“隱含分布”這些聽起來很唬人的詞結(jié)果第一次看到PCPPut-Call Parity看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系的公式時(shí)第一反應(yīng)是這不就是個(gè)恒等式嗎有什么好講的。后來真金白銀踩過坑才明白這個(gè)看似簡單的等式其實(shí)是整個(gè)期權(quán)定價(jià)體系的“地基”——它不依賴任何復(fù)雜的隨機(jī)過程假設(shè)純粹由無套利原理推導(dǎo)出來是連接看漲期權(quán)、看跌期權(quán)、標(biāo)的資產(chǎn)和債券四條腿的橋梁。對(duì)于有編程背景但金融零基礎(chǔ)的朋友來說PCP平價(jià)是一個(gè)絕佳的切入點(diǎn)。為什么因?yàn)樗銐蚝唵我粋€(gè)等式就能說清楚又足夠深刻能讓你理解期權(quán)市場(chǎng)最底層的定價(jià)邏輯。更重要的是它可以直接用代碼驗(yàn)證——你不需要成為金融科班出身只要會(huì)寫幾行Python拉一組期權(quán)鏈數(shù)據(jù)就能親手驗(yàn)證這個(gè)關(guān)系是否成立甚至從中發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。這篇文章我會(huì)從編程小白的視角出發(fā)把PCP平價(jià)拆解成可理解、可計(jì)算、可驗(yàn)證的模塊。你會(huì)看到這個(gè)等式到底在說什么、它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)為什么成立、用代碼怎么驗(yàn)證、實(shí)際市場(chǎng)中為什么會(huì)有偏差、以及一個(gè)程序員做期權(quán)分析時(shí)最容易踩的坑。全程不堆砌金融術(shù)語能用生活例子說清楚的絕不用公式嚇人。1.2 PCP平價(jià)到底在講什么一個(gè)“復(fù)制”的故事先拋開公式用最直白的話說PCP平價(jià)講的是——買一張看漲期權(quán)加上賣一張看跌期權(quán)和直接買一份標(biāo)的資產(chǎn)加上借錢這兩件事的到期收益是一模一樣的。你可以這樣理解假設(shè)你看好某只股票有兩種方式表達(dá)這個(gè)觀點(diǎn)。第一種你買入看漲期權(quán)有權(quán)以行權(quán)價(jià)K買入同時(shí)賣出看跌期權(quán)有義務(wù)以行權(quán)價(jià)K買入。第二種你直接買入股票同時(shí)借一筆錢到期要還K。到期時(shí)無論股價(jià)怎么變這兩種組合的盈虧完全一致。既然到期收益一樣那它們現(xiàn)在的成本也必須一樣否則就存在無風(fēng)險(xiǎn)套利——這就是PCP平價(jià)的核心邏輯。用公式表達(dá)就是C - P S - K × e^(-rT)其中C是看漲期權(quán)價(jià)格P是看跌期權(quán)價(jià)格S是標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)K是行權(quán)價(jià)r是無風(fēng)險(xiǎn)利率T是到期時(shí)間。左邊是“看漲減看跌”右邊是“股票減債券”。這個(gè)等式就是PCP平價(jià)。對(duì)于程序員來說這個(gè)公式最友好的地方在于它沒有隨機(jī)微分方程沒有伊藤引理沒有偏微分方程。它就是一個(gè)代數(shù)關(guān)系你甚至可以用Excel拉個(gè)表驗(yàn)證。但它的威力在于一旦這個(gè)等式不成立你就可以構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套利組合——買入便宜的一邊賣出貴的一邊到期穩(wěn)賺差價(jià)。這就是為什么做市商和量化交易員會(huì)死死盯著這個(gè)關(guān)系。1.3 為什么用編程來學(xué)PCP從“看懂”到“算明白”傳統(tǒng)金融教材講PCP通常是畫個(gè)收益圖推導(dǎo)一下公式然后給個(gè)例題。但作為程序員你學(xué)東西的方式不一樣——你習(xí)慣的是“跑一遍代碼看看結(jié)果”。PCP平價(jià)恰好是一個(gè)非常適合用代碼驗(yàn)證的概念因?yàn)樗婕暗臄?shù)據(jù)期權(quán)價(jià)格、行權(quán)價(jià)、利率、到期時(shí)間都可以從公開數(shù)據(jù)源獲取計(jì)算邏輯也不復(fù)雜。用編程學(xué)PCP有三個(gè)好處。第一強(qiáng)制你理解每個(gè)參數(shù)的含義。寫代碼的時(shí)候你不能含糊S是哪個(gè)價(jià)格、r怎么取、T怎么算都必須明確。第二可以批量驗(yàn)證。你可以拉一整條期權(quán)鏈的數(shù)據(jù)對(duì)每個(gè)行權(quán)價(jià)都算一遍PCP偏差看看哪些偏離最大。第三能直觀感受市場(chǎng)摩擦。理論上PCP應(yīng)該完美成立但實(shí)際數(shù)據(jù)一跑你會(huì)發(fā)現(xiàn)總有偏差這些偏差背后就是交易成本、流動(dòng)性、資金成本等因素在起作用。我自己的學(xué)習(xí)路徑就是先手推一遍公式然后用Python寫一個(gè)驗(yàn)證腳本拉一組模擬數(shù)據(jù)跑通再換成真實(shí)期權(quán)鏈數(shù)據(jù)觀察偏差。這個(gè)過程比單純看書快得多而且理解更深。接下來我會(huì)把這個(gè)路徑完整拆解出來你可以直接跟著操作。2. 核心細(xì)節(jié)解析PCP公式的每個(gè)零件都不能含糊2.1 四個(gè)變量C、P、S、K到底怎么取PCP公式里只有四個(gè)價(jià)格變量和一個(gè)利率時(shí)間項(xiàng)但每一個(gè)都有講究。先說C和P這是看漲和看跌期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。這里有個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)必須用同一到期日、同一行權(quán)價(jià)的看漲和看跌期權(quán)。你不能拿行權(quán)價(jià)100的看漲和行權(quán)價(jià)105的看跌來算那就不是PCP了。在實(shí)際數(shù)據(jù)中同一行權(quán)價(jià)的看漲和看跌期權(quán)通常都有報(bào)價(jià)但流動(dòng)性可能不同——有的行權(quán)價(jià)看漲活躍、看跌冷清這時(shí)候報(bào)價(jià)的買賣價(jià)差就會(huì)影響PCP的計(jì)算結(jié)果。S是標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)。對(duì)于股票期權(quán)S就是股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格。但這里有個(gè)細(xì)節(jié)如果你用的是盤中數(shù)據(jù)S在變期權(quán)價(jià)格也在變你必須保證取的是同一時(shí)刻的報(bào)價(jià)。很多新手會(huì)犯的錯(cuò)誤是用昨天的收盤價(jià)S去配今天的期權(quán)價(jià)格那算出來的偏差完全沒有意義。對(duì)于指數(shù)期權(quán)S是指數(shù)點(diǎn)位但指數(shù)本身不可直接交易所以實(shí)際套利時(shí)需要用ETF或期貨來復(fù)制這就引入了基差問題。K是行權(quán)價(jià)這個(gè)最明確合約里寫死的。但要注意有些期權(quán)是美式行權(quán)可以提前行權(quán)有些是歐式行權(quán)只能到期行權(quán)。PCP平價(jià)嚴(yán)格來說只對(duì)歐式期權(quán)成立因?yàn)槊朗狡跈?quán)的提前行權(quán)權(quán)利會(huì)破壞復(fù)制關(guān)系。不過在實(shí)際中對(duì)于不支付股息的股票美式看漲期權(quán)通常不會(huì)提前行權(quán)所以PCP近似成立但美式看跌期權(quán)有可能提前行權(quán)這時(shí)候PCP會(huì)有偏差。r是無風(fēng)險(xiǎn)利率T是到期時(shí)間以年為單位。這兩個(gè)參數(shù)雖然不直接出現(xiàn)在市場(chǎng)價(jià)格里但它們的取值直接影響K×e^(-rT)這一項(xiàng)。r通常取同期限的國債收益率或銀行間拆借利率T則是剩余天數(shù)除以365。這里有個(gè)實(shí)操細(xì)節(jié)如果剩余天數(shù)很少比如只剩3天r的微小變化對(duì)結(jié)果影響不大但如果剩余時(shí)間很長比如兩年期LEAPS期權(quán)r的取值就會(huì)顯著影響PCP的計(jì)算。2.2 公式推導(dǎo)為什么“復(fù)制”能成立PCP的推導(dǎo)不需要任何概率假設(shè)純粹是現(xiàn)金流復(fù)制。我試著用最直白的方式講一遍?？紤]兩個(gè)組合。組合A買入一份看漲期權(quán)行權(quán)價(jià)K到期日T賣出一份看跌期權(quán)同行權(quán)價(jià)、同到期日。組合B買入一份標(biāo)的資產(chǎn)同時(shí)借入K×e^(-rT)的現(xiàn)金到期連本帶息還K。到期時(shí)股價(jià)有兩種情況。如果股價(jià)高于K組合A中看漲期權(quán)行權(quán)你以K買入股票看跌期權(quán)作廢最終你持有股票價(jià)值等于股價(jià)。組合B中你本來就持有股票借款到期還K最終也持有股票價(jià)值等于股價(jià)。如果股價(jià)低于K組合A中看漲期權(quán)作廢看跌期權(quán)被行權(quán)你以K買入股票最終持有股票價(jià)值等于股價(jià)。組合B同樣持有股票價(jià)值等于股價(jià)。所以無論股價(jià)怎么變兩個(gè)組合到期都持有一份股票價(jià)值相同。既然到期價(jià)值相同那當(dāng)前構(gòu)建成本也必須相同否則就存在套利。組合A的當(dāng)前成本是C - P組合B的當(dāng)前成本是S - K×e^(-rT)。于是C - P S - K×e^(-rT)這就是PCP平價(jià)。這個(gè)推導(dǎo)的關(guān)鍵在于“無套利假設(shè)”——如果兩個(gè)組合到期價(jià)值一樣但當(dāng)前價(jià)格不同你就可以買入便宜的組合、賣出貴的組合到期無風(fēng)險(xiǎn)賺差價(jià)。在有效市場(chǎng)中這種機(jī)會(huì)會(huì)被迅速抹平所以等式成立。2.3 利率和時(shí)間的處理連續(xù)復(fù)利還是單利在PCP公式中K×e^(-rT)這一項(xiàng)用的是連續(xù)復(fù)利折現(xiàn)。為什么用連續(xù)復(fù)利因?yàn)槠跈?quán)定價(jià)理論Black-Scholes模型建立在連續(xù)時(shí)間框架下連續(xù)復(fù)利與對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)一致。但在實(shí)際計(jì)算中如果你只是做近似驗(yàn)證用單利折現(xiàn)K/(1rT)也差不太多尤其是當(dāng)r和T都比較小的時(shí)候。我實(shí)測(cè)過當(dāng)r3%、T0.25年時(shí)連續(xù)復(fù)利折現(xiàn)因子e^(-0.03×0.25)≈0.99253單利折現(xiàn)因子1/(10.03×0.25)≈0.99256差異在小數(shù)點(diǎn)后第五位對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響通常小于最小報(bào)價(jià)單位。但如果T很長比如兩年差異就會(huì)放大到千分之一級(jí)別對(duì)于大額套利來說就不能忽略了。對(duì)于編程實(shí)現(xiàn)我建議直接用連續(xù)復(fù)利因?yàn)檫@是行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)而且Python的math.exp()或numpy.exp()調(diào)用起來很方便。r的取值可以用同期限國債收益率如果找不到精確匹配的用貨幣市場(chǎng)利率近似也行。T的計(jì)算要注意如果到期日是周五而今天是周一剩余日歷天數(shù)是4天但實(shí)際交易日是3天周二到周四有些交易員會(huì)用交易日/252來算T有些用日歷日/365。兩種算法在短期期權(quán)上差異不大但長期期權(quán)會(huì)有明顯區(qū)別。我個(gè)人的習(xí)慣是短期用日歷日/365長期用日歷日/365保持一致性。3. 實(shí)操過程用Python親手驗(yàn)證PCP平價(jià)3.1 環(huán)境準(zhǔn)備與數(shù)據(jù)獲取思路要驗(yàn)證PCP你需要一組期權(quán)鏈數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源可以有很多選擇比如從某些公開數(shù)據(jù)接口獲取或者用券商提供的API。這里我不具體推薦某個(gè)數(shù)據(jù)源因?yàn)椴煌貐^(qū)的可用性不同你可以根據(jù)自己的情況選擇。核心要求是你需要同一到期日、同一行權(quán)價(jià)的看漲和看跌期權(quán)報(bào)價(jià)以及標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)、無風(fēng)險(xiǎn)利率和到期時(shí)間。如果你暫時(shí)拿不到真實(shí)數(shù)據(jù)也可以用模擬數(shù)據(jù)先跑通邏輯。模擬數(shù)據(jù)的構(gòu)造方法是先設(shè)定S、K、r、T和波動(dòng)率用Black-Scholes公式算出理論看漲和看跌價(jià)格然后驗(yàn)證PCP是否成立。這樣你可以先熟悉計(jì)算流程等有真實(shí)數(shù)據(jù)了再替換。Python環(huán)境方面你需要numpy做數(shù)值計(jì)算pandas做數(shù)據(jù)處理scipy做統(tǒng)計(jì)和優(yōu)化可選matplotlib做可視化可選。如果你用Jupyter Notebook會(huì)更方便逐步調(diào)試。安裝命令很簡單pip install numpy pandas scipy matplotlib我建議在虛擬環(huán)境里裝避免污染全局環(huán)境。如果你用conda也可以conda create一個(gè)獨(dú)立環(huán)境。3.2 用模擬數(shù)據(jù)跑通PCP驗(yàn)證先構(gòu)造一組模擬數(shù)據(jù)。假設(shè)標(biāo)的現(xiàn)價(jià)S100行權(quán)價(jià)K100無風(fēng)險(xiǎn)利率r3%到期時(shí)間T0.5年6個(gè)月波動(dòng)率σ20%。用Black-Scholes公式算看漲和看跌價(jià)格import numpy as np from scipy.stats import norm def black_scholes(S, K, r, T, sigma, option_typecall): d1 (np.log(S/K) (r 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T)) d2 d1 - sigma*np.sqrt(T) if option_type call: price S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2) else: price K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1) return price S 100 K 100 r 0.03 T 0.5 sigma 0.2 call_price black_scholes(S, K, r, T, sigma, call) put_price black_scholes(S, K, r, T, sigma, put) print(f看漲期權(quán)價(jià)格: {call_price:.4f}) print(f看跌期權(quán)價(jià)格: {put_price:.4f}) # 驗(yàn)證PCP left call_price - put_price right S - K * np.exp(-r*T) print(fC - P {left:.4f}) print(fS - K*e^(-rT) {right:.4f}) print(f偏差: {left - right:.6f})跑出來偏差應(yīng)該是0或極小的浮點(diǎn)誤差因?yàn)锽lack-Scholes公式本身就滿足PCP。這個(gè)練習(xí)的目的是讓你熟悉計(jì)算流程確認(rèn)代碼邏輯正確。3.3 用真實(shí)期權(quán)鏈數(shù)據(jù)觀察偏差拿到真實(shí)數(shù)據(jù)后你需要做幾件事。第一篩選出同一到期日的所有行權(quán)價(jià)。第二對(duì)每個(gè)行權(quán)價(jià)找到對(duì)應(yīng)的看漲和看跌期權(quán)報(bào)價(jià)。第三用中間價(jià)買價(jià)和賣價(jià)的平均來計(jì)算而不是用最新成交價(jià)因?yàn)樽钚鲁山粌r(jià)可能過時(shí)。第四計(jì)算每個(gè)行權(quán)價(jià)的PCP偏差并畫圖觀察。偏差的計(jì)算方式是偏差 (C - P) - (S - K×e^(-rT))。如果偏差為正說明看漲相對(duì)看跌被高估或看跌被低估可以考慮賣出看漲、買入看跌、買入股票、借入資金如果偏差為負(fù)則反向操作。實(shí)際數(shù)據(jù)中你會(huì)發(fā)現(xiàn)偏差通常集中在幾個(gè)區(qū)域。平值附近行權(quán)價(jià)接近S的偏差最小因?yàn)榱鲃?dòng)性最好。深度實(shí)值和深度虛值的偏差較大因?yàn)橘I賣價(jià)差寬、流動(dòng)性差。到期日近的偏差小到期日遠(yuǎn)的偏差大因?yàn)橘Y金成本和時(shí)間價(jià)值的不確定性更大。我跑過一組數(shù)據(jù)平值附近的偏差通常在0.1%到0.3%之間深度虛值可能到1%以上。這些偏差看起來不大但如果你考慮交易成本傭金、買賣價(jià)差、沖擊成本很多偏差其實(shí)不足以覆蓋成本。這就是為什么PCP套利聽起來簡單實(shí)際做起來需要精細(xì)的成本控制。3.4 參數(shù)計(jì)算r和T的取值實(shí)操r的取值我通常用同期限的國債收益率。如果期權(quán)到期日是3個(gè)月后我就找3個(gè)月期國債收益率。如果找不到精確匹配的用線性插值。有些數(shù)據(jù)源會(huì)直接提供無風(fēng)險(xiǎn)利率曲線那就更方便。如果沒有可以用銀行間拆借利率近似但要注意信用利差。T的計(jì)算我用日歷日除以365。比如今天到到期日還有90天T90/365≈0.2466。有些交易員用交易日除以252對(duì)于短期期權(quán)差異不大但長期期權(quán)會(huì)有區(qū)別。我建議保持一致不要混用。還有一個(gè)細(xì)節(jié)如果標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)支付股息PCP公式需要調(diào)整。調(diào)整后的公式是C - P S - PV(D) - K×e^(-rT)其中PV(D)是股息的現(xiàn)值。對(duì)于不支付股息的股票這一項(xiàng)為零。對(duì)于支付股息的股票你需要預(yù)測(cè)股息金額和支付時(shí)間這又引入了不確定性。我剛開始做的時(shí)候忽略了股息結(jié)果算出來的偏差很大后來才發(fā)現(xiàn)是股息在作怪。4. 常見問題與排查技巧實(shí)錄4.1 偏差太大先檢查這五個(gè)地方當(dāng)你發(fā)現(xiàn)某個(gè)行權(quán)價(jià)的PCP偏差異常大時(shí)不要急著興奮先按順序檢查以下五點(diǎn)。第一數(shù)據(jù)是否同步。S、C、P是不是同一時(shí)刻的報(bào)價(jià)如果S是收盤價(jià)C和P是盤中價(jià)那偏差可能只是時(shí)間差造成的。第二是否同一到期日、同一行權(quán)價(jià)。有時(shí)候數(shù)據(jù)源會(huì)混淆不同到期日的合約或者行權(quán)價(jià)有調(diào)整比如股票拆股后行權(quán)價(jià)會(huì)變。第三是否用了中間價(jià)。如果用買價(jià)算一邊、賣價(jià)算另一邊偏差會(huì)被買賣價(jià)差放大。第四利率和股息是否處理正確。r取錯(cuò)了或者忘了股息偏差會(huì)系統(tǒng)性偏移。第五期權(quán)是美式還是歐式。美式期權(quán)的提前行權(quán)權(quán)利會(huì)破壞PCP尤其是深度實(shí)值的看跌期權(quán)。我踩過的一個(gè)坑是用某數(shù)據(jù)源的“最新價(jià)”算PCP結(jié)果發(fā)現(xiàn)很多期權(quán)的“最新價(jià)”是幾天前的成交價(jià)完全不能反映當(dāng)前市場(chǎng)。后來改用買賣中間價(jià)偏差就正常了。4.2 套利看起來很美為什么實(shí)際做不了理論上PCP偏差就是套利機(jī)會(huì)。但實(shí)際中你面臨幾個(gè)障礙。第一交易成本。期權(quán)有傭金股票有傭金和印花稅買賣價(jià)差也是成本。第二資金成本。套利需要借入資金或占用保證金實(shí)際借款利率可能高于無風(fēng)險(xiǎn)利率。第三流動(dòng)性限制。偏差大的合約往往流動(dòng)性差你未必能以看到的價(jià)格成交。第四行權(quán)與交割。美式期權(quán)提前行權(quán)、股票借入困難、交割規(guī)則復(fù)雜都會(huì)增加操作難度。我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)是對(duì)于散戶來說PCP套利基本不可行因?yàn)槌杀咎?。但PCP平價(jià)仍然極其有用因?yàn)樗軒湍闩袛嗥跈?quán)價(jià)格是否合理。比如你想買看漲期權(quán)可以先算一下對(duì)應(yīng)的看跌期權(quán)價(jià)格如果看漲明顯貴了你可以考慮用看跌加股票來合成看漲可能更便宜。4.3 常見問題速查表問題現(xiàn)象可能原因排查方法偏差系統(tǒng)性為正看漲被高估或看跌被低估檢查是否漏算股息偏差系統(tǒng)性為負(fù)看跌被高估或看漲被低估檢查利率取值是否過高平值附近偏差小深度虛值偏差大流動(dòng)性差異用買賣價(jià)差過濾近月偏差小遠(yuǎn)月偏差大資金成本不確定性用更精確的利率曲線某些行權(quán)價(jià)偏差異常大數(shù)據(jù)錯(cuò)誤或合約調(diào)整核對(duì)合約規(guī)格美式期權(quán)偏差明顯提前行權(quán)權(quán)利改用歐式期權(quán)驗(yàn)證4.4 一個(gè)實(shí)用技巧用PCP反推隱含利率PCP不僅可以驗(yàn)證價(jià)格還可以反推市場(chǎng)隱含的無風(fēng)險(xiǎn)利率。把公式變形K×e^(-rT) S - C P然后解出r。如果你對(duì)一組期權(quán)鏈都做這個(gè)計(jì)算會(huì)得到一系列隱含利率這些利率的分布可以反映市場(chǎng)的資金成本預(yù)期。我試過用這個(gè)方法觀察市場(chǎng)情緒當(dāng)隱含利率突然飆升時(shí)往往意味著市場(chǎng)流動(dòng)性緊張或者有特殊事件。這個(gè)技巧的好處是你不需要額外數(shù)據(jù)源只用期權(quán)價(jià)格就能推斷出市場(chǎng)對(duì)利率的看法。當(dāng)然前提是期權(quán)流動(dòng)性足夠好否則噪聲會(huì)很大。5. 從PCP延伸編程視角下的期權(quán)分析框架5.1 把PCP封裝成可復(fù)用的函數(shù)一旦你理解了PCP就可以把它封裝成一個(gè)函數(shù)方便后續(xù)調(diào)用。我通常會(huì)寫一個(gè)check_pcp函數(shù)輸入S、K、r、T、C、P輸出偏差和套利方向。再寫一個(gè)implied_rate函數(shù)輸入S、K、T、C、P輸出隱含利率。這樣你在做其他期權(quán)分析時(shí)可以隨時(shí)調(diào)用。代碼結(jié)構(gòu)大概是def check_pcp(S, K, r, T, C, P): left C - P right S - K * np.exp(-r * T) deviation left - right if deviation 0: direction 賣出看漲買入看跌買入股票借入資金 elif deviation 0: direction 買入看漲賣出看跌賣空股票借出資金 else: direction 無套利機(jī)會(huì) return deviation, direction def implied_rate(S, K, T, C, P): # 從 C - P S - K*e^(-rT) 解出 r # e^(-rT) (S - C P) / K # -rT ln((S - C P) / K) # r -ln((S - C P) / K) / T ratio (S - C P) / K if ratio 0: return None return -np.log(ratio) / T這兩個(gè)函數(shù)雖然簡單但非常實(shí)用。你可以把它們加入自己的期權(quán)分析工具箱。5.2 從PCP到Black-Scholes自然的下一步PCP是期權(quán)定價(jià)的“骨架”Black-Scholes模型則是給這個(gè)骨架填上“血肉”。Black-Scholes公式給出的看漲和看跌價(jià)格天然滿足PCP所以你可以把PCP理解為Black-Scholes模型的一個(gè)約束條件。當(dāng)你理解了PCP再學(xué)Black-Scholes會(huì)容易很多因?yàn)槟阒滥Ｐ捅仨殱M足這個(gè)無套利關(guān)系。從編程角度你可以用PCP來驗(yàn)證自己實(shí)現(xiàn)的Black-Scholes公式是否正確。如果你算出來的看漲和看跌價(jià)格不滿足PCP那一定是代碼有bug。這是一個(gè)非常有效的單元測(cè)試。5.3 給編程金融小白的三個(gè)學(xué)習(xí)建議第一先跑通再優(yōu)化。不要一開始就追求完美的數(shù)據(jù)源和精確的利率曲線先用模擬數(shù)據(jù)把邏輯跑通再逐步替換成真實(shí)數(shù)據(jù)。第二可視化很重要。把PCP偏差畫成圖橫軸是行權(quán)價(jià)縱軸是偏差你會(huì)直觀看到偏差的分布規(guī)律。第三記錄每次實(shí)驗(yàn)。我習(xí)慣用Jupyter Notebook記錄每次數(shù)據(jù)拉取、計(jì)算和觀察結(jié)果方便回溯和對(duì)比。我剛開始學(xué)的時(shí)候花了很多時(shí)間糾結(jié)于“正確的”無風(fēng)險(xiǎn)利率應(yīng)該是多少后來發(fā)現(xiàn)對(duì)于學(xué)習(xí)PCP來說用任何合理的利率都能看到偏差關(guān)鍵是理解偏差的來源。等你真正要做交易決策時(shí)再精細(xì)化利率取值也不遲。5.4 一個(gè)容易忽略的細(xì)節(jié)期權(quán)報(bào)價(jià)的買賣價(jià)差在實(shí)際數(shù)據(jù)中期權(quán)的買價(jià)和賣價(jià)之間通常有價(jià)差。如果你用買價(jià)算PCP再用賣價(jià)算另一邊偏差會(huì)被價(jià)差放大。正確的做法是用中間價(jià)即買價(jià)賣價(jià)/2。但中間價(jià)也有問題它可能不是可成交價(jià)。如果你真的要做套利你需要用買價(jià)買入、賣價(jià)賣出這時(shí)候價(jià)差就是你的成本。我通常的做法是先用中間價(jià)算一遍看看偏差分布再用買價(jià)和賣價(jià)分別算一遍看看偏差范圍。如果偏差在買賣價(jià)差范圍內(nèi)那就不算真正的套利機(jī)會(huì)。這個(gè)細(xì)節(jié)在書本上很少強(qiáng)調(diào)但實(shí)際操作中非常關(guān)鍵。6. 個(gè)人實(shí)操體會(huì)與后續(xù)擴(kuò)展方向6.1 我踩過的三個(gè)坑第一個(gè)坑是忽略股息。有一次我算一組銀行股的PCP發(fā)現(xiàn)偏差特別大還以為是市場(chǎng)無效。后來才想起來銀行股每季度分紅而我的公式里沒有股息項(xiàng)。加上股息調(diào)整后偏差立刻縮小到正常范圍。第二個(gè)坑是用錯(cuò)到期時(shí)間。我一開始用自然日除以365后來發(fā)現(xiàn)有些交易員用交易日除以252兩者在短期期權(quán)上差異不大但在長期期權(quán)上能差出幾個(gè)百分點(diǎn)。我現(xiàn)在的習(xí)慣是統(tǒng)一用自然日除以365保持一致性。第三個(gè)坑是數(shù)據(jù)不同步。我用收盤后的股票價(jià)格去配盤中的期權(quán)價(jià)格算出來的偏差完全沒有意義。后來我改成用同一時(shí)間戳的數(shù)據(jù)問題就解決了。6.2 后續(xù)可以這樣擴(kuò)展如果你已經(jīng)跑通了PCP驗(yàn)證可以嘗試幾個(gè)擴(kuò)展方向。第一加入股息調(diào)整看看股息對(duì)PCP的影響有多大。第二用不同到期日的期權(quán)鏈觀察偏差隨到期時(shí)間的變化規(guī)律。第三構(gòu)建一個(gè)簡單的套利回測(cè)看看扣除交易成本后是否還有利潤。第四把PCP和其他期權(quán)關(guān)系結(jié)合比如看漲看跌平價(jià)和盒式價(jià)差的關(guān)系。我個(gè)人覺得最有意思的方向是用PCP反推市場(chǎng)隱含的股息預(yù)期。對(duì)于支付股息的股票你可以用PCP公式反推出市場(chǎng)隱含的股息現(xiàn)值然后和實(shí)際股息公告對(duì)比看看市場(chǎng)預(yù)期是否合理。這個(gè)分析在股息公告前后特別有用。6.3 最后分享一個(gè)小技巧如果你在驗(yàn)證PCP時(shí)發(fā)現(xiàn)某個(gè)行權(quán)價(jià)的偏差特別大先別急著下結(jié)論。把該行權(quán)價(jià)附近的幾個(gè)行權(quán)價(jià)都算一遍看看偏差是孤立的還是系統(tǒng)性的。如果只有某一個(gè)行權(quán)價(jià)偏差大很可能是數(shù)據(jù)錯(cuò)誤或流動(dòng)性問題如果一片行權(quán)價(jià)都偏差大那可能是利率或股息參數(shù)取錯(cuò)了。這個(gè)排查思路幫我省了很多時(shí)間。另外我建議你養(yǎng)成記錄的習(xí)慣。每次驗(yàn)證PCP時(shí)把數(shù)據(jù)日期、S、r、T、偏差分布都記下來。過一段時(shí)間回頭看你會(huì)對(duì)市場(chǎng)摩擦有更深刻的理解。這個(gè)習(xí)慣比任何教材都管用。 編程視角拆解PCP期權(quán)平價(jià)：從公式推導(dǎo)到Python驗(yàn)證
1. 從零拆解PCP平價(jià)編程視角下的期權(quán)定價(jià)核心邏輯1.1 為什么一個(gè)寫代碼的人要關(guān)心“平價(jià)關(guān)系”我最早接觸期權(quán)的時(shí)候滿腦子都是“波動(dòng)率”“希臘字母”“隱含分布”這些聽起來很唬人的詞結(jié)果第一次看到PCPPut-Call Parity看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系的公式時(shí)第一反應(yīng)是這不就是個(gè)恒等式嗎有什么好講的。后來真金白銀踩過坑才明白這個(gè)看似簡單的等式其實(shí)是整個(gè)期權(quán)定價(jià)體系的“地基”——它不依賴任何復(fù)雜的隨機(jī)過程假設(shè)純粹由無套利原理推導(dǎo)出來是連接看漲期權(quán)、看跌期權(quán)、標(biāo)的資產(chǎn)和債券四條腿的橋梁。對(duì)于有編程背景但金融零基礎(chǔ)的朋友來說PCP平價(jià)是一個(gè)絕佳的切入點(diǎn)。為什么因?yàn)樗銐蚝唵我粋€(gè)等式就能說清楚又足夠深刻能讓你理解期權(quán)市場(chǎng)最底層的定價(jià)邏輯。更重要的是它可以直接用代碼驗(yàn)證——你不需要成為金融科班出身只要會(huì)寫幾行Python拉一組期權(quán)鏈數(shù)據(jù)就能親手驗(yàn)證這個(gè)關(guān)系是否成立甚至從中發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。這篇文章我會(huì)從編程小白的視角出發(fā)把PCP平價(jià)拆解成可理解、可計(jì)算、可驗(yàn)證的模塊。你會(huì)看到這個(gè)等式到底在說什么、它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)為什么成立、用代碼怎么驗(yàn)證、實(shí)際市場(chǎng)中為什么會(huì)有偏差、以及一個(gè)程序員做期權(quán)分析時(shí)最容易踩的坑。全程不堆砌金融術(shù)語能用生活例子說清楚的絕不用公式嚇人。1.2 PCP平價(jià)到底在講什么一個(gè)“復(fù)制”的故事先拋開公式用最直白的話說PCP平價(jià)講的是——買一張看漲期權(quán)加上賣一張看跌期權(quán)和直接買一份標(biāo)的資產(chǎn)加上借錢這兩件事的到期收益是一模一樣的。你可以這樣理解假設(shè)你看好某只股票有兩種方式表達(dá)這個(gè)觀點(diǎn)。第一種你買入看漲期權(quán)有權(quán)以行權(quán)價(jià)K買入同時(shí)賣出看跌期權(quán)有義務(wù)以行權(quán)價(jià)K買入。第二種你直接買入股票同時(shí)借一筆錢到期要還K。到期時(shí)無論股價(jià)怎么變這兩種組合的盈虧完全一致。既然到期收益一樣那它們現(xiàn)在的成本也必須一樣否則就存在無風(fēng)險(xiǎn)套利——這就是PCP平價(jià)的核心邏輯。用公式表達(dá)就是C - P S - K × e^(-rT)其中C是看漲期權(quán)價(jià)格P是看跌期權(quán)價(jià)格S是標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)K是行權(quán)價(jià)r是無風(fēng)險(xiǎn)利率T是到期時(shí)間。左邊是“看漲減看跌”右邊是“股票減債券”。這個(gè)等式就是PCP平價(jià)。對(duì)于程序員來說這個(gè)公式最友好的地方在于它沒有隨機(jī)微分方程沒有伊藤引理沒有偏微分方程。它就是一個(gè)代數(shù)關(guān)系你甚至可以用Excel拉個(gè)表驗(yàn)證。但它的威力在于一旦這個(gè)等式不成立你就可以構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)套利組合——買入便宜的一邊賣出貴的一邊到期穩(wěn)賺差價(jià)。這就是為什么做市商和量化交易員會(huì)死死盯著這個(gè)關(guān)系。1.3 為什么用編程來學(xué)PCP從“看懂”到“算明白”傳統(tǒng)金融教材講PCP通常是畫個(gè)收益圖推導(dǎo)一下公式然后給個(gè)例題。但作為程序員你學(xué)東西的方式不一樣——你習(xí)慣的是“跑一遍代碼看看結(jié)果”。PCP平價(jià)恰好是一個(gè)非常適合用代碼驗(yàn)證的概念因?yàn)樗婕暗臄?shù)據(jù)期權(quán)價(jià)格、行權(quán)價(jià)、利率、到期時(shí)間都可以從公開數(shù)據(jù)源獲取計(jì)算邏輯也不復(fù)雜。用編程學(xué)PCP有三個(gè)好處。第一強(qiáng)制你理解每個(gè)參數(shù)的含義。寫代碼的時(shí)候你不能含糊S是哪個(gè)價(jià)格、r怎么取、T怎么算都必須明確。第二可以批量驗(yàn)證。你可以拉一整條期權(quán)鏈的數(shù)據(jù)對(duì)每個(gè)行權(quán)價(jià)都算一遍PCP偏差看看哪些偏離最大。第三能直觀感受市場(chǎng)摩擦。理論上PCP應(yīng)該完美成立但實(shí)際數(shù)據(jù)一跑你會(huì)發(fā)現(xiàn)總有偏差這些偏差背后就是交易成本、流動(dòng)性、資金成本等因素在起作用。我自己的學(xué)習(xí)路徑就是先手推一遍公式然后用Python寫一個(gè)驗(yàn)證腳本拉一組模擬數(shù)據(jù)跑通再換成真實(shí)期權(quán)鏈數(shù)據(jù)觀察偏差。這個(gè)過程比單純看書快得多而且理解更深。接下來我會(huì)把這個(gè)路徑完整拆解出來你可以直接跟著操作。2. 核心細(xì)節(jié)解析PCP公式的每個(gè)零件都不能含糊2.1 四個(gè)變量C、P、S、K到底怎么取PCP公式里只有四個(gè)價(jià)格變量和一個(gè)利率時(shí)間項(xiàng)但每一個(gè)都有講究。先說C和P這是看漲和看跌期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。這里有個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)必須用同一到期日、同一行權(quán)價(jià)的看漲和看跌期權(quán)。你不能拿行權(quán)價(jià)100的看漲和行權(quán)價(jià)105的看跌來算那就不是PCP了。在實(shí)際數(shù)據(jù)中同一行權(quán)價(jià)的看漲和看跌期權(quán)通常都有報(bào)價(jià)但流動(dòng)性可能不同——有的行權(quán)價(jià)看漲活躍、看跌冷清這時(shí)候報(bào)價(jià)的買賣價(jià)差就會(huì)影響PCP的計(jì)算結(jié)果。S是標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)。對(duì)于股票期權(quán)S就是股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格。但這里有個(gè)細(xì)節(jié)如果你用的是盤中數(shù)據(jù)S在變期權(quán)價(jià)格也在變你必須保證取的是同一時(shí)刻的報(bào)價(jià)。很多新手會(huì)犯的錯(cuò)誤是用昨天的收盤價(jià)S去配今天的期權(quán)價(jià)格那算出來的偏差完全沒有意義。對(duì)于指數(shù)期權(quán)S是指數(shù)點(diǎn)位但指數(shù)本身不可直接交易所以實(shí)際套利時(shí)需要用ETF或期貨來復(fù)制這就引入了基差問題。K是行權(quán)價(jià)這個(gè)最明確合約里寫死的。但要注意有些期權(quán)是美式行權(quán)可以提前行權(quán)有些是歐式行權(quán)只能到期行權(quán)。PCP平價(jià)嚴(yán)格來說只對(duì)歐式期權(quán)成立因?yàn)槊朗狡跈?quán)的提前行權(quán)權(quán)利會(huì)破壞復(fù)制關(guān)系。不過在實(shí)際中對(duì)于不支付股息的股票美式看漲期權(quán)通常不會(huì)提前行權(quán)所以PCP近似成立但美式看跌期權(quán)有可能提前行權(quán)這時(shí)候PCP會(huì)有偏差。r是無風(fēng)險(xiǎn)利率T是到期時(shí)間以年為單位。這兩個(gè)參數(shù)雖然不直接出現(xiàn)在市場(chǎng)價(jià)格里但它們的取值直接影響K×e^(-rT)這一項(xiàng)。r通常取同期限的國債收益率或銀行間拆借利率T則是剩余天數(shù)除以365。這里有個(gè)實(shí)操細(xì)節(jié)如果剩余天數(shù)很少比如只剩3天r的微小變化對(duì)結(jié)果影響不大但如果剩余時(shí)間很長比如兩年期LEAPS期權(quán)r的取值就會(huì)顯著影響PCP的計(jì)算。2.2 公式推導(dǎo)為什么“復(fù)制”能成立PCP的推導(dǎo)不需要任何概率假設(shè)純粹是現(xiàn)金流復(fù)制。我試著用最直白的方式講一遍?？紤]兩個(gè)組合。組合A買入一份看漲期權(quán)行權(quán)價(jià)K到期日T賣出一份看跌期權(quán)同行權(quán)價(jià)、同到期日。組合B買入一份標(biāo)的資產(chǎn)同時(shí)借入K×e^(-rT)的現(xiàn)金到期連本帶息還K。到期時(shí)股價(jià)有兩種情況。如果股價(jià)高于K組合A中看漲期權(quán)行權(quán)你以K買入股票看跌期權(quán)作廢最終你持有股票價(jià)值等于股價(jià)。組合B中你本來就持有股票借款到期還K最終也持有股票價(jià)值等于股價(jià)。如果股價(jià)低于K組合A中看漲期權(quán)作廢看跌期權(quán)被行權(quán)你以K買入股票最終持有股票價(jià)值等于股價(jià)。組合B同樣持有股票價(jià)值等于股價(jià)。所以無論股價(jià)怎么變兩個(gè)組合到期都持有一份股票價(jià)值相同。既然到期價(jià)值相同那當(dāng)前構(gòu)建成本也必須相同否則就存在套利。組合A的當(dāng)前成本是C - P組合B的當(dāng)前成本是S - K×e^(-rT)。于是C - P S - K×e^(-rT)這就是PCP平價(jià)。這個(gè)推導(dǎo)的關(guān)鍵在于“無套利假設(shè)”——如果兩個(gè)組合到期價(jià)值一樣但當(dāng)前價(jià)格不同你就可以買入便宜的組合、賣出貴的組合到期無風(fēng)險(xiǎn)賺差價(jià)。在有效市場(chǎng)中這種機(jī)會(huì)會(huì)被迅速抹平所以等式成立。2.3 利率和時(shí)間的處理連續(xù)復(fù)利還是單利在PCP公式中K×e^(-rT)這一項(xiàng)用的是連續(xù)復(fù)利折現(xiàn)。為什么用連續(xù)復(fù)利因?yàn)槠跈?quán)定價(jià)理論Black-Scholes模型建立在連續(xù)時(shí)間框架下連續(xù)復(fù)利與對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)一致。但在實(shí)際計(jì)算中如果你只是做近似驗(yàn)證用單利折現(xiàn)K/(1rT)也差不太多尤其是當(dāng)r和T都比較小的時(shí)候。我實(shí)測(cè)過當(dāng)r3%、T0.25年時(shí)連續(xù)復(fù)利折現(xiàn)因子e^(-0.03×0.25)≈0.99253單利折現(xiàn)因子1/(10.03×0.25)≈0.99256差異在小數(shù)點(diǎn)后第五位對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響通常小于最小報(bào)價(jià)單位。但如果T很長比如兩年差異就會(huì)放大到千分之一級(jí)別對(duì)于大額套利來說就不能忽略了。對(duì)于編程實(shí)現(xiàn)我建議直接用連續(xù)復(fù)利因?yàn)檫@是行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)而且Python的math.exp()或numpy.exp()調(diào)用起來很方便。r的取值可以用同期限國債收益率如果找不到精確匹配的用貨幣市場(chǎng)利率近似也行。T的計(jì)算要注意如果到期日是周五而今天是周一剩余日歷天數(shù)是4天但實(shí)際交易日是3天周二到周四有些交易員會(huì)用交易日/252來算T有些用日歷日/365。兩種算法在短期期權(quán)上差異不大但長期期權(quán)會(huì)有明顯區(qū)別。我個(gè)人的習(xí)慣是短期用日歷日/365長期用日歷日/365保持一致性。3. 實(shí)操過程用Python親手驗(yàn)證PCP平價(jià)3.1 環(huán)境準(zhǔn)備與數(shù)據(jù)獲取思路要驗(yàn)證PCP你需要一組期權(quán)鏈數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源可以有很多選擇比如從某些公開數(shù)據(jù)接口獲取或者用券商提供的API。這里我不具體推薦某個(gè)數(shù)據(jù)源因?yàn)椴煌貐^(qū)的可用性不同你可以根據(jù)自己的情況選擇。核心要求是你需要同一到期日、同一行權(quán)價(jià)的看漲和看跌期權(quán)報(bào)價(jià)以及標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)、無風(fēng)險(xiǎn)利率和到期時(shí)間。如果你暫時(shí)拿不到真實(shí)數(shù)據(jù)也可以用模擬數(shù)據(jù)先跑通邏輯。模擬數(shù)據(jù)的構(gòu)造方法是先設(shè)定S、K、r、T和波動(dòng)率用Black-Scholes公式算出理論看漲和看跌價(jià)格然后驗(yàn)證PCP是否成立。這樣你可以先熟悉計(jì)算流程等有真實(shí)數(shù)據(jù)了再替換。Python環(huán)境方面你需要numpy做數(shù)值計(jì)算pandas做數(shù)據(jù)處理scipy做統(tǒng)計(jì)和優(yōu)化可選matplotlib做可視化可選。如果你用Jupyter Notebook會(huì)更方便逐步調(diào)試。安裝命令很簡單pip install numpy pandas scipy matplotlib我建議在虛擬環(huán)境里裝避免污染全局環(huán)境。如果你用conda也可以conda create一個(gè)獨(dú)立環(huán)境。3.2 用模擬數(shù)據(jù)跑通PCP驗(yàn)證先構(gòu)造一組模擬數(shù)據(jù)。假設(shè)標(biāo)的現(xiàn)價(jià)S100行權(quán)價(jià)K100無風(fēng)險(xiǎn)利率r3%到期時(shí)間T0.5年6個(gè)月波動(dòng)率σ20%。用Black-Scholes公式算看漲和看跌價(jià)格import numpy as np from scipy.stats import norm def black_scholes(S, K, r, T, sigma, option_typecall): d1 (np.log(S/K) (r 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T)) d2 d1 - sigma*np.sqrt(T) if option_type call: price S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2) else: price K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1) return price S 100 K 100 r 0.03 T 0.5 sigma 0.2 call_price black_scholes(S, K, r, T, sigma, call) put_price black_scholes(S, K, r, T, sigma, put) print(f看漲期權(quán)價(jià)格: {call_price:.4f}) print(f看跌期權(quán)價(jià)格: {put_price:.4f}) # 驗(yàn)證PCP left call_price - put_price right S - K * np.exp(-r*T) print(fC - P {left:.4f}) print(fS - K*e^(-rT) {right:.4f}) print(f偏差: {left - right:.6f})跑出來偏差應(yīng)該是0或極小的浮點(diǎn)誤差因?yàn)锽lack-Scholes公式本身就滿足PCP。這個(gè)練習(xí)的目的是讓你熟悉計(jì)算流程確認(rèn)代碼邏輯正確。3.3 用真實(shí)期權(quán)鏈數(shù)據(jù)觀察偏差拿到真實(shí)數(shù)據(jù)后你需要做幾件事。第一篩選出同一到期日的所有行權(quán)價(jià)。第二對(duì)每個(gè)行權(quán)價(jià)找到對(duì)應(yīng)的看漲和看跌期權(quán)報(bào)價(jià)。第三用中間價(jià)買價(jià)和賣價(jià)的平均來計(jì)算而不是用最新成交價(jià)因?yàn)樽钚鲁山粌r(jià)可能過時(shí)。第四計(jì)算每個(gè)行權(quán)價(jià)的PCP偏差并畫圖觀察。偏差的計(jì)算方式是偏差 (C - P) - (S - K×e^(-rT))。如果偏差為正說明看漲相對(duì)看跌被高估或看跌被低估可以考慮賣出看漲、買入看跌、買入股票、借入資金如果偏差為負(fù)則反向操作。實(shí)際數(shù)據(jù)中你會(huì)發(fā)現(xiàn)偏差通常集中在幾個(gè)區(qū)域。平值附近行權(quán)價(jià)接近S的偏差最小因?yàn)榱鲃?dòng)性最好。深度實(shí)值和深度虛值的偏差較大因?yàn)橘I賣價(jià)差寬、流動(dòng)性差。到期日近的偏差小到期日遠(yuǎn)的偏差大因?yàn)橘Y金成本和時(shí)間價(jià)值的不確定性更大。我跑過一組數(shù)據(jù)平值附近的偏差通常在0.1%到0.3%之間深度虛值可能到1%以上。這些偏差看起來不大但如果你考慮交易成本傭金、買賣價(jià)差、沖擊成本很多偏差其實(shí)不足以覆蓋成本。這就是為什么PCP套利聽起來簡單實(shí)際做起來需要精細(xì)的成本控制。3.4 參數(shù)計(jì)算r和T的取值實(shí)操r的取值我通常用同期限的國債收益率。如果期權(quán)到期日是3個(gè)月后我就找3個(gè)月期國債收益率。如果找不到精確匹配的用線性插值。有些數(shù)據(jù)源會(huì)直接提供無風(fēng)險(xiǎn)利率曲線那就更方便。如果沒有可以用銀行間拆借利率近似但要注意信用利差。T的計(jì)算我用日歷日除以365。比如今天到到期日還有90天T90/365≈0.2466。有些交易員用交易日除以252對(duì)于短期期權(quán)差異不大但長期期權(quán)會(huì)有區(qū)別。我建議保持一致不要混用。還有一個(gè)細(xì)節(jié)如果標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)支付股息PCP公式需要調(diào)整。調(diào)整后的公式是C - P S - PV(D) - K×e^(-rT)其中PV(D)是股息的現(xiàn)值。對(duì)于不支付股息的股票這一項(xiàng)為零。對(duì)于支付股息的股票你需要預(yù)測(cè)股息金額和支付時(shí)間這又引入了不確定性。我剛開始做的時(shí)候忽略了股息結(jié)果算出來的偏差很大后來才發(fā)現(xiàn)是股息在作怪。4. 常見問題與排查技巧實(shí)錄4.1 偏差太大先檢查這五個(gè)地方當(dāng)你發(fā)現(xiàn)某個(gè)行權(quán)價(jià)的PCP偏差異常大時(shí)不要急著興奮先按順序檢查以下五點(diǎn)。第一數(shù)據(jù)是否同步。S、C、P是不是同一時(shí)刻的報(bào)價(jià)如果S是收盤價(jià)C和P是盤中價(jià)那偏差可能只是時(shí)間差造成的。第二是否同一到期日、同一行權(quán)價(jià)。有時(shí)候數(shù)據(jù)源會(huì)混淆不同到期日的合約或者行權(quán)價(jià)有調(diào)整比如股票拆股后行權(quán)價(jià)會(huì)變。第三是否用了中間價(jià)。如果用買價(jià)算一邊、賣價(jià)算另一邊偏差會(huì)被買賣價(jià)差放大。第四利率和股息是否處理正確。r取錯(cuò)了或者忘了股息偏差會(huì)系統(tǒng)性偏移。第五期權(quán)是美式還是歐式。美式期權(quán)的提前行權(quán)權(quán)利會(huì)破壞PCP尤其是深度實(shí)值的看跌期權(quán)。我踩過的一個(gè)坑是用某數(shù)據(jù)源的“最新價(jià)”算PCP結(jié)果發(fā)現(xiàn)很多期權(quán)的“最新價(jià)”是幾天前的成交價(jià)完全不能反映當(dāng)前市場(chǎng)。后來改用買賣中間價(jià)偏差就正常了。4.2 套利看起來很美為什么實(shí)際做不了理論上PCP偏差就是套利機(jī)會(huì)。但實(shí)際中你面臨幾個(gè)障礙。第一交易成本。期權(quán)有傭金股票有傭金和印花稅買賣價(jià)差也是成本。第二資金成本。套利需要借入資金或占用保證金實(shí)際借款利率可能高于無風(fēng)險(xiǎn)利率。第三流動(dòng)性限制。偏差大的合約往往流動(dòng)性差你未必能以看到的價(jià)格成交。第四行權(quán)與交割。美式期權(quán)提前行權(quán)、股票借入困難、交割規(guī)則復(fù)雜都會(huì)增加操作難度。我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)是對(duì)于散戶來說PCP套利基本不可行因?yàn)槌杀咎?。但PCP平價(jià)仍然極其有用因?yàn)樗軒湍闩袛嗥跈?quán)價(jià)格是否合理。比如你想買看漲期權(quán)可以先算一下對(duì)應(yīng)的看跌期權(quán)價(jià)格如果看漲明顯貴了你可以考慮用看跌加股票來合成看漲可能更便宜。4.3 常見問題速查表問題現(xiàn)象可能原因排查方法偏差系統(tǒng)性為正看漲被高估或看跌被低估檢查是否漏算股息偏差系統(tǒng)性為負(fù)看跌被高估或看漲被低估檢查利率取值是否過高平值附近偏差小深度虛值偏差大流動(dòng)性差異用買賣價(jià)差過濾近月偏差小遠(yuǎn)月偏差大資金成本不確定性用更精確的利率曲線某些行權(quán)價(jià)偏差異常大數(shù)據(jù)錯(cuò)誤或合約調(diào)整核對(duì)合約規(guī)格美式期權(quán)偏差明顯提前行權(quán)權(quán)利改用歐式期權(quán)驗(yàn)證4.4 一個(gè)實(shí)用技巧用PCP反推隱含利率PCP不僅可以驗(yàn)證價(jià)格還可以反推市場(chǎng)隱含的無風(fēng)險(xiǎn)利率。把公式變形K×e^(-rT) S - C P然后解出r。如果你對(duì)一組期權(quán)鏈都做這個(gè)計(jì)算會(huì)得到一系列隱含利率這些利率的分布可以反映市場(chǎng)的資金成本預(yù)期。我試過用這個(gè)方法觀察市場(chǎng)情緒當(dāng)隱含利率突然飆升時(shí)往往意味著市場(chǎng)流動(dòng)性緊張或者有特殊事件。這個(gè)技巧的好處是你不需要額外數(shù)據(jù)源只用期權(quán)價(jià)格就能推斷出市場(chǎng)對(duì)利率的看法。當(dāng)然前提是期權(quán)流動(dòng)性足夠好否則噪聲會(huì)很大。5. 從PCP延伸編程視角下的期權(quán)分析框架5.1 把PCP封裝成可復(fù)用的函數(shù)一旦你理解了PCP就可以把它封裝成一個(gè)函數(shù)方便后續(xù)調(diào)用。我通常會(huì)寫一個(gè)check_pcp函數(shù)輸入S、K、r、T、C、P輸出偏差和套利方向。再寫一個(gè)implied_rate函數(shù)輸入S、K、T、C、P輸出隱含利率。這樣你在做其他期權(quán)分析時(shí)可以隨時(shí)調(diào)用。代碼結(jié)構(gòu)大概是def check_pcp(S, K, r, T, C, P): left C - P right S - K * np.exp(-r * T) deviation left - right if deviation 0: direction 賣出看漲買入看跌買入股票借入資金 elif deviation 0: direction 買入看漲賣出看跌賣空股票借出資金 else: direction 無套利機(jī)會(huì) return deviation, direction def implied_rate(S, K, T, C, P): # 從 C - P S - K*e^(-rT) 解出 r # e^(-rT) (S - C P) / K # -rT ln((S - C P) / K) # r -ln((S - C P) / K) / T ratio (S - C P) / K if ratio 0: return None return -np.log(ratio) / T這兩個(gè)函數(shù)雖然簡單但非常實(shí)用。你可以把它們加入自己的期權(quán)分析工具箱。5.2 從PCP到Black-Scholes自然的下一步PCP是期權(quán)定價(jià)的“骨架”Black-Scholes模型則是給這個(gè)骨架填上“血肉”。Black-Scholes公式給出的看漲和看跌價(jià)格天然滿足PCP所以你可以把PCP理解為Black-Scholes模型的一個(gè)約束條件。當(dāng)你理解了PCP再學(xué)Black-Scholes會(huì)容易很多因?yàn)槟阒滥Ｐ捅仨殱M足這個(gè)無套利關(guān)系。從編程角度你可以用PCP來驗(yàn)證自己實(shí)現(xiàn)的Black-Scholes公式是否正確。如果你算出來的看漲和看跌價(jià)格不滿足PCP那一定是代碼有bug。這是一個(gè)非常有效的單元測(cè)試。5.3 給編程金融小白的三個(gè)學(xué)習(xí)建議第一先跑通再優(yōu)化。不要一開始就追求完美的數(shù)據(jù)源和精確的利率曲線先用模擬數(shù)據(jù)把邏輯跑通再逐步替換成真實(shí)數(shù)據(jù)。第二可視化很重要。把PCP偏差畫成圖橫軸是行權(quán)價(jià)縱軸是偏差你會(huì)直觀看到偏差的分布規(guī)律。第三記錄每次實(shí)驗(yàn)。我習(xí)慣用Jupyter Notebook記錄每次數(shù)據(jù)拉取、計(jì)算和觀察結(jié)果方便回溯和對(duì)比。我剛開始學(xué)的時(shí)候花了很多時(shí)間糾結(jié)于“正確的”無風(fēng)險(xiǎn)利率應(yīng)該是多少后來發(fā)現(xiàn)對(duì)于學(xué)習(xí)PCP來說用任何合理的利率都能看到偏差關(guān)鍵是理解偏差的來源。等你真正要做交易決策時(shí)再精細(xì)化利率取值也不遲。5.4 一個(gè)容易忽略的細(xì)節(jié)期權(quán)報(bào)價(jià)的買賣價(jià)差在實(shí)際數(shù)據(jù)中期權(quán)的買價(jià)和賣價(jià)之間通常有價(jià)差。如果你用買價(jià)算PCP再用賣價(jià)算另一邊偏差會(huì)被價(jià)差放大。正確的做法是用中間價(jià)即買價(jià)賣價(jià)/2。但中間價(jià)也有問題它可能不是可成交價(jià)。如果你真的要做套利你需要用買價(jià)買入、賣價(jià)賣出這時(shí)候價(jià)差就是你的成本。我通常的做法是先用中間價(jià)算一遍看看偏差分布再用買價(jià)和賣價(jià)分別算一遍看看偏差范圍。如果偏差在買賣價(jià)差范圍內(nèi)那就不算真正的套利機(jī)會(huì)。這個(gè)細(xì)節(jié)在書本上很少強(qiáng)調(diào)但實(shí)際操作中非常關(guān)鍵。6. 個(gè)人實(shí)操體會(huì)與后續(xù)擴(kuò)展方向6.1 我踩過的三個(gè)坑第一個(gè)坑是忽略股息。有一次我算一組銀行股的PCP發(fā)現(xiàn)偏差特別大還以為是市場(chǎng)無效。后來才想起來銀行股每季度分紅而我的公式里沒有股息項(xiàng)。加上股息調(diào)整后偏差立刻縮小到正常范圍。第二個(gè)坑是用錯(cuò)到期時(shí)間。我一開始用自然日除以365后來發(fā)現(xiàn)有些交易員用交易日除以252兩者在短期期權(quán)上差異不大但在長期期權(quán)上能差出幾個(gè)百分點(diǎn)。我現(xiàn)在的習(xí)慣是統(tǒng)一用自然日除以365保持一致性。第三個(gè)坑是數(shù)據(jù)不同步。我用收盤后的股票價(jià)格去配盤中的期權(quán)價(jià)格算出來的偏差完全沒有意義。后來我改成用同一時(shí)間戳的數(shù)據(jù)問題就解決了。6.2 后續(xù)可以這樣擴(kuò)展如果你已經(jīng)跑通了PCP驗(yàn)證可以嘗試幾個(gè)擴(kuò)展方向。第一加入股息調(diào)整看看股息對(duì)PCP的影響有多大。第二用不同到期日的期權(quán)鏈觀察偏差隨到期時(shí)間的變化規(guī)律。第三構(gòu)建一個(gè)簡單的套利回測(cè)看看扣除交易成本后是否還有利潤。第四把PCP和其他期權(quán)關(guān)系結(jié)合比如看漲看跌平價(jià)和盒式價(jià)差的關(guān)系。我個(gè)人覺得最有意思的方向是用PCP反推市場(chǎng)隱含的股息預(yù)期。對(duì)于支付股息的股票你可以用PCP公式反推出市場(chǎng)隱含的股息現(xiàn)值然后和實(shí)際股息公告對(duì)比看看市場(chǎng)預(yù)期是否合理。這個(gè)分析在股息公告前后特別有用。6.3 最后分享一個(gè)小技巧如果你在驗(yàn)證PCP時(shí)發(fā)現(xiàn)某個(gè)行權(quán)價(jià)的偏差特別大先別急著下結(jié)論。把該行權(quán)價(jià)附近的幾個(gè)行權(quán)價(jià)都算一遍看看偏差是孤立的還是系統(tǒng)性的。如果只有某一個(gè)行權(quán)價(jià)偏差大很可能是數(shù)據(jù)錯(cuò)誤或流動(dòng)性問題如果一片行權(quán)價(jià)都偏差大那可能是利率或股息參數(shù)取錯(cuò)了。這個(gè)排查思路幫我省了很多時(shí)間。另外我建議你養(yǎng)成記錄的習(xí)慣。每次驗(yàn)證PCP時(shí)把數(shù)據(jù)日期、S、r、T、偏差分布都記下來。過一段時(shí)間回頭看你會(huì)對(duì)市場(chǎng)摩擦有更深刻的理解。這個(gè)習(xí)慣比任何教材都管用。