上午剛上完八年級(jí)的一節(jié)函數(shù)課有個(gè)孩子拿著作業(yè)本問(wèn)我“老師正比例函數(shù)到底是不是一次函數(shù)為什么教材把它們放在一節(jié)課里講”說(shuō)實(shí)話這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得很好因?yàn)楹芏鄬W(xué)生甚至部分教學(xué)參考書(shū)都在這兩個(gè)概念的關(guān)系上繞圈子。一次函數(shù)和正比例函數(shù)看似是初中數(shù)學(xué)里最基礎(chǔ)的一塊內(nèi)容但它實(shí)際上是整個(gè)“函數(shù)思維”的起點(diǎn)是學(xué)生從“算術(shù)算結(jié)果”邁向“代數(shù)看關(guān)系”的第一道門檻。這篇文章我想結(jié)合自己帶班的實(shí)際教學(xué)經(jīng)歷把一次函數(shù)和正比例函數(shù)放在一起做一次完整的拆解先搞清楚它們到底怎么定義再講清楚k和b這兩個(gè)參數(shù)分別控制圖像的什么變化接著用圖像的平移規(guī)律反推解析式的變形邏輯最后帶大家走一遍“從實(shí)際問(wèn)題到函數(shù)表達(dá)式再到圖像解釋”的完整套路。無(wú)論你是正在備課的新老師還是家里有初中生的家長(zhǎng)或者你自己就是那個(gè)被ykxb困住的初學(xué)者這篇文章都值得你花十分鐘讀完而且我保證每一段都是課堂里真實(shí)驗(yàn)證過(guò)的講法。1. “變量”這個(gè)概念是孩子從算術(shù)思維邁向函數(shù)思維的第一道坎很多孩子學(xué)函數(shù)一開(kāi)始覺(jué)得難不是因?yàn)橛?jì)算量大而是因?yàn)樗季S模式?jīng)]有切換過(guò)來(lái)。小學(xué)六年他們都在做同一件事已知條件求結(jié)果。比如“小明每小時(shí)走4千米走3小時(shí)走了多少千米”——這是算術(shù)結(jié)果是一個(gè)具體的數(shù)值。但函數(shù)不一樣它關(guān)心的是“如果時(shí)間變化路程會(huì)怎樣跟著變化”這個(gè)過(guò)程本身。我第一次給學(xué)生講函數(shù)時(shí)會(huì)在黑板上寫(xiě)兩個(gè)式子算術(shù)式4 × 3 12函數(shù)式s 4t然后我問(wèn)他們“這兩個(gè)式子有什么區(qū)別”大部分孩子的回答是“第二個(gè)沒(méi)有算出答案”。這個(gè)回答其實(shí)很精準(zhǔn)因?yàn)楹瘮?shù)式的本質(zhì)就是“不急著算答案”而是把“輸入t”和“輸出s”之間的關(guān)系用規(guī)則固定下來(lái)。你給t一個(gè)值s就被這個(gè)規(guī)則唯一確定。所以函數(shù)的本質(zhì)不是算式而是“對(duì)應(yīng)法則”。從這個(gè)角度出發(fā)一次函數(shù)ykxb的定義就非常自然了它描述的是自變量x的每一次變化都會(huì)引起因變量y按固定比例k隨動(dòng)再加上一個(gè)固定的初始偏移量b。這里的k叫做斜率b叫做截距。關(guān)于這個(gè)定義我建議每個(gè)初學(xué)者都在筆記本上寫(xiě)一句話一次函數(shù)是“規(guī)則”不是“算式”。你輸入一個(gè)x它按kxb這條流水線加工最后吐出一個(gè)y這個(gè)“加工過(guò)程”才是函數(shù)本身。理解了變量和規(guī)則之后就明白了“為什么不能只看解析式來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)”。比如y2x1和yx2兩者長(zhǎng)得很像但它們的加工規(guī)則完全不同。要真正比較兩個(gè)函數(shù)光看式子不夠還要看它們的圖像、表格、以及實(shí)際場(chǎng)景中代表的含義。這也是新課標(biāo)反復(fù)強(qiáng)調(diào)“函數(shù)表示的多樣性”的原因所在。2. 一次函數(shù)到底長(zhǎng)什么樣四個(gè)角度缺一不可函數(shù)這個(gè)概念最大的特點(diǎn)是它有一種“分裂人格”。同一個(gè)函數(shù)可以用文字描述、列表格、寫(xiě)解析式、畫(huà)圖像四種完全不同面貌呈現(xiàn)但它們的本質(zhì)都是同一個(gè)規(guī)則。我上課時(shí)把這四種表現(xiàn)形式叫作“函數(shù)的四張臉”并且要求學(xué)生做到“見(jiàn)臉識(shí)人”——給你任何一種表達(dá)你都能還原出其他三種。2.1 文字描述與解析式的對(duì)應(yīng)邏輯比如一家網(wǎng)約車平臺(tái)計(jì)費(fèi)規(guī)則起步價(jià)8元包含3公里超出部分每公里2.4元。這是一段文字描述。如果用一次函數(shù)來(lái)表達(dá)3公里以內(nèi)的行程就是y8常數(shù)函數(shù)而行駛超過(guò)3公里之后如果用x表示總里程那么超出部分就是(x-3)總費(fèi)用就是y82.4(x-3)整理一下得到y(tǒng)2.4x0.8。這里b0.8不是“起步價(jià)”而是把計(jì)費(fèi)規(guī)則轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一表達(dá)式之后的數(shù)學(xué)偏移量。這個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程極其重要因?yàn)楹芏鄬W(xué)生不理解“為什么b不是起步價(jià)”本質(zhì)就是沒(méi)有習(xí)慣“用函數(shù)規(guī)則統(tǒng)一表達(dá)分段情況”。2.2 列表格的數(shù)值規(guī)律與斜率k的雛形列表格是理解斜率最直觀的方式。以y2x1為例填寫(xiě)x1,2,3,4對(duì)應(yīng)的y值3,5,7,9。學(xué)生一眼就能看出規(guī)律x每增加1y就增加2。這個(gè)“每增加1y增加的量”就是斜率k。很多孩子背了“k是斜率”卻不知道斜率是什么問(wèn)題就出在跳過(guò)了列表格這個(gè)中間步驟。動(dòng)手逐項(xiàng)把表格算出來(lái)比任何口訣都管用。特別要提醒的是只有第1列到第2列、第2列到第3列x間隔相同時(shí)y的差才正好等于k。如果x不是按1遞增比如從x1跳到x5那么y的變化量不是k而是k×4。所以更嚴(yán)格的表述是“y的變化量與x的變化量之比為k”寫(xiě)成式子就是Δy/Δxk這才是斜率最本質(zhì)的定義。2.3 圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)就是表格里每一組x、y畫(huà)圖像的核心操作只有一個(gè)把表格里的每一組(x,y)當(dāng)成平面直角坐標(biāo)系里的一個(gè)點(diǎn)標(biāo)出來(lái)再連線。y2x1的圖像是一條直線因?yàn)樗男甭使潭ㄔ隽亢愣ū憩F(xiàn)在幾何上就是“方向不變”。這也是為什么它叫“一次函數(shù)”——它的最高次數(shù)是1變化量恒定圖像必為直線。這里有一個(gè)常見(jiàn)的課堂實(shí)驗(yàn)讓每個(gè)學(xué)生取一個(gè)不同的k值比如k1,2,0.5,-1在同一坐標(biāo)系里畫(huà)出ykx的直線然后把它們疊在一起對(duì)比。學(xué)生會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)k越大直線越“陡”k為負(fù)數(shù)時(shí)圖像向右下傾斜k0時(shí)圖像變成一條水平線。這個(gè)觀察比老師口頭講一百遍“k決定傾斜方向”都更牢固因?yàn)樗鼇?lái)自學(xué)生自己的操作經(jīng)驗(yàn)。2.4 解析式里的b與圖像的上下位移b是截距它代表當(dāng)x0時(shí)y的值。在圖像上就是直線與y軸的交點(diǎn)。為什么叫“截距”因?yàn)橹本€在y軸上“截”出一段距離。要注意的是如果題目里給的是y軸截距的概念初中階段“截距”就是它與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)可正可負(fù)。我以前見(jiàn)過(guò)不少孩子遇到b-3時(shí)茫然地說(shuō)“截距不是距離嗎距離怎么是負(fù)的”這里要幫他們拆掉這個(gè)誤區(qū)數(shù)學(xué)里的“截距”不是空間距離而是坐標(biāo)值允許負(fù)數(shù)出現(xiàn)。為了強(qiáng)化b對(duì)圖像的影響我會(huì)讓學(xué)生畫(huà)一組“同斜率不同截距”的直線y2x-1、y2x、y2x2。三兄弟擺在一起他們很快能看出b控制了整條直線沿y軸上下平移斜率不變方向也不變。這個(gè)“平移”與“k決定方向、b決定位置”的圖像直覺(jué)是后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像變換最重要的基礎(chǔ)。3. 正比例函數(shù)才是真正的主角別把它當(dāng)成配角教材里通常先講正比例函數(shù)再講一次函數(shù)因?yàn)檎壤瘮?shù)是一次函數(shù)的特例特例更容易理解。實(shí)際教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)很多孩子對(duì)這種“特例”的定位認(rèn)識(shí)不清要么覺(jué)得正比例函數(shù)不重要要么搞不清它和一次函數(shù)的從屬關(guān)系。其實(shí)正比例函數(shù)恰恰是初學(xué)階段最重要的模型因?yàn)樗苯訉?duì)應(yīng)了生活中最樸素的一類關(guān)系——等我乘等比一個(gè)變另一個(gè)按同等倍數(shù)變。3.1 正比例函數(shù)和一次函數(shù)到底是什么關(guān)系用一句話給它們“認(rèn)親”正比例函數(shù)是一次函數(shù)的子集。一次函數(shù)ykxb當(dāng)b0時(shí)就變成了ykx這就是正比例函數(shù)。反過(guò)來(lái)所有正比例函數(shù)都滿足一次函數(shù)的定義。所以回到開(kāi)頭那個(gè)學(xué)生的疑問(wèn)“正比例函數(shù)是不是一次函數(shù)”答案是肯定的正比例函數(shù)一定是“特殊的一次函數(shù)”。但課堂上我還會(huì)追問(wèn)一句“一次函數(shù)是不是正比例函數(shù)”這時(shí)候就有學(xué)生上當(dāng)了。正確答案是不一定。只有當(dāng)b0時(shí)才成立。為了加深印象我設(shè)計(jì)了一個(gè)分類小游戲把函數(shù)分為“一次函數(shù)、正比例函數(shù)、兩者都是、兩者都不是”四類讓學(xué)生逐個(gè)分類。比如y-3x、y5x2、y4、y1/x、y0.5x-0.5。這個(gè)過(guò)程能把概念的邊界磨得非常清楚比單獨(dú)背定義效率高得多。3.2 生活中的正比例關(guān)系與“成正比”的直覺(jué)“正比例”這個(gè)詞在生活中的意思是兩個(gè)量的比值恒定。比如買蘋(píng)果3元一斤買x斤付y元y3x。買得越多付得越多而且永遠(yuǎn)保持“總價(jià)÷重量3”這個(gè)比例。這個(gè)場(chǎng)景孩子都懂帶入到y(tǒng)kx里k就是“單價(jià)”。同樣是生活中的關(guān)系y2x3就不是正比例。為什么因?yàn)槟呐聏0y也有一個(gè)最小值3比如租場(chǎng)地有基礎(chǔ)費(fèi)用。很多實(shí)際問(wèn)題就是這樣有關(guān)系但關(guān)系不是嚴(yán)格的比例關(guān)系而是“按比例基礎(chǔ)費(fèi)”的疊加。這也解釋了一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題為什么一次函數(shù)的b可以是0但正比例函數(shù)必須等于0。b不是可選項(xiàng)而是區(qū)分這兩種關(guān)系的唯一標(biāo)尺。3.3 正比例函數(shù)圖像的“必經(jīng)之路”正比例函數(shù)ykx有一個(gè)很漂亮的性質(zhì)它的圖像一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)。這個(gè)性質(zhì)其實(shí)從解析式就能看出來(lái)x0時(shí)y0任何k值都躲不開(kāi)這個(gè)點(diǎn)。所以畫(huà)正比例函數(shù)圖像時(shí)只需要再確定一個(gè)點(diǎn)就能畫(huà)出整條直線。常規(guī)做法是令x1求出對(duì)應(yīng)的yk得到點(diǎn)(1,k)然后連接原點(diǎn)和這個(gè)點(diǎn)延伸成直線。有一次我在課堂上讓學(xué)生畫(huà)y2x的圖像一個(gè)孩子直接畫(huà)了經(jīng)過(guò)(1,2)的一條線但沒(méi)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)被同桌抓住了錯(cuò)誤。這件事提醒了我畫(huà)正比例函數(shù)的圖像檢查“是否過(guò)原點(diǎn)”是最快的驗(yàn)錯(cuò)辦法。如果你畫(huà)的直線沒(méi)有穿過(guò)原點(diǎn)那一定哪里出了問(wèn)題——要么取點(diǎn)算錯(cuò)要么連線時(shí)連錯(cuò)了點(diǎn)。4. 圖像里那些你忽略但非常重要的細(xì)節(jié)一次函數(shù)的圖像是一條直線這個(gè)結(jié)論誰(shuí)都知道但一條直線里藏著的細(xì)節(jié)很多學(xué)生到了初三還在出錯(cuò)。我總結(jié)了三個(gè)課堂上最容易翻車的圖像細(xì)節(jié)每一個(gè)都值得單獨(dú)拿出來(lái)好好說(shuō)道。4.1 正比例函數(shù)過(guò)原點(diǎn)但一次函數(shù)不一定前面已經(jīng)說(shuō)了正比例函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)但一次函數(shù)ykxb在b≠0時(shí)它和原點(diǎn)的關(guān)系是“有緣無(wú)分”——直線可能離原點(diǎn)很近但就是穿不過(guò)去。我自己的經(jīng)驗(yàn)是讓學(xué)生多做“判斷直線是否經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)”的練習(xí)比如判斷(0,0)是否在y3x2上直接代入x0算出y2就可以斬釘截鐵地說(shuō)“不在”。更進(jìn)階的問(wèn)題是判斷一條一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)哪些象限。這個(gè)內(nèi)容看似超綱但完全可以用k和b的符號(hào)邏輯推出來(lái)。y2x3來(lái)說(shuō)k0圖像向右上傾斜b0交點(diǎn)在y軸正半軸。畫(huà)個(gè)草圖就知道它經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限不經(jīng)過(guò)第四象限。經(jīng)常做這種“看參數(shù)定位置”的判斷對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)不等式與函數(shù)圖像的位置關(guān)系幫助很大。4.2 斜率k不是“角度”而是“變化率”這是我見(jiàn)過(guò)最多孩子混淆的概念。k1不是說(shuō)直線和x軸成45度角而是說(shuō)“x每增加1y增加1”。在初中坐標(biāo)系里如果兩個(gè)軸單位長(zhǎng)度一致k1時(shí)確實(shí)表現(xiàn)為45度但一旦x軸和y軸的單位長(zhǎng)度不同這個(gè)視覺(jué)角度就會(huì)改變。數(shù)學(xué)考試?yán)锿ǔ２簧罹窟@一點(diǎn)但孩子頭腦里的圖景必須清楚k的核心意義是變化率不是視覺(jué)上的角度。從斜率進(jìn)一步可以推出直線的“陡緩程度”k的絕對(duì)值越大直線越陡。比如k3的直線比k1的更豎直k-4比k-2下降得更快。我給學(xué)生的記憶方法是“k像跑步速度”——速度越快跑得越遠(yuǎn)圖像就越陡速度的符號(hào)則決定是前進(jìn)還是后退。4.3 圖像平移的深層邏輯左加右減、上加下減圖像平移是一個(gè)分水嶺很多孩子在這里第一次感受到數(shù)學(xué)中“看起來(lái)很簡(jiǎn)單但做題總錯(cuò)”的無(wú)力感。“上加下減”相對(duì)好理解ykxb里的b每增加1整條線就向上平移1個(gè)單位。但“左加右減”就反直覺(jué)了要讓ykx的圖像向左平移1個(gè)單位得到的不是yk(x1)嗎為什么是加號(hào)明明向左是負(fù)方向答案在于“左加右減”針對(duì)的是自變量x而不是點(diǎn)的橫坐標(biāo)。假設(shè)原來(lái)圖像上有某個(gè)點(diǎn)(a, ka)圖像整體向左平移1個(gè)單位后這個(gè)點(diǎn)變成(a-1, ka)而這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)仍然是ka。那么新圖像上橫坐標(biāo)為a-1的點(diǎn)縱坐標(biāo)等于原函數(shù)在橫坐標(biāo)為a時(shí)的值。也就是說(shuō)新圖像的函數(shù)值F應(yīng)該滿足F(a-1)k·a令ta-1則at1所以F(t)k(t1)這就是“x里加1”的由來(lái)。我上課時(shí)不會(huì)直接讓學(xué)生背口訣而是讓全班一起完成“從圖像操作到代數(shù)操作”的推導(dǎo)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程只有十分鐘但效果勝過(guò)刷幾十道平移題。理解了“為什么要加”口訣才不會(huì)成為負(fù)擔(dān)。5. 從實(shí)際問(wèn)題到函數(shù)解析式那個(gè)讓無(wú)數(shù)學(xué)生卡殼的建模過(guò)程很多學(xué)生學(xué)函數(shù)式子會(huì)算、圖像會(huì)畫(huà)但一遇到應(yīng)用題就發(fā)懵問(wèn)題出在“數(shù)學(xué)符號(hào)”和“現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景”之間的翻譯能力太弱。我自己教學(xué)時(shí)最重視的就是這一步“翻譯”訓(xùn)練。下面用一個(gè)具體的場(chǎng)景把完整流程走一遍你會(huì)發(fā)現(xiàn)建模這件事其實(shí)有固定的套路可循。5.1 識(shí)別“變量對(duì)”和“固定量”任何實(shí)際場(chǎng)景要建模成一次函數(shù)第一步不是寫(xiě)公式而是先問(wèn)自己兩個(gè)問(wèn)題什么東西在變化什么東西不變比如我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)“家庭水費(fèi)計(jì)算”的例子某城市水費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是“每月基礎(chǔ)費(fèi)12元每用1噸水收4元”。在這里變化的量是用水量x噸和水費(fèi)y元不變的量是基礎(chǔ)費(fèi)12元和單價(jià)4元。y和x的關(guān)系就應(yīng)該是y4x12這個(gè)式子里的12就是“物理含義上的起步費(fèi)”。但問(wèn)題是有些題不會(huì)直接告訴你“單價(jià)和起步費(fèi)”而只給你兩組數(shù)據(jù)比如“用5噸水花了32元用8噸水花了44元”。這種題目就是讓我們用待定系數(shù)法倒推出k和b。先設(shè)一般式y(tǒng)kxb把兩組數(shù)據(jù)代進(jìn)去325kb448kb 兩式相減得到123k所以k4再代回得b12。整個(gè)過(guò)程就是解二元一次方程組。5.2 從兩組數(shù)據(jù)反推出k、b的完整操作待定系數(shù)法是本課的核心解題工具沒(méi)有之一。它的操作分三步第一步設(shè)設(shè)解析式y(tǒng)kxb第二步代把題目給定的兩個(gè)條件兩組x、y或兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入第三步解解出k和b再寫(xiě)回解析式。我在黑板上演示時(shí)會(huì)特意強(qiáng)調(diào)“減元”的細(xì)節(jié)兩個(gè)方程相減時(shí)b恰好被消掉只剩下k的方程。這個(gè)技巧孩子們掌握后基本上待定系數(shù)法就算過(guò)關(guān)了。需要注意的是題目可能給出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)比如A(2,5)和B(-1,-1)操作完全一樣只是“代”的形式變成了點(diǎn)坐標(biāo)。還是設(shè)ykxb代入得到52kb-1-kb 兩式相減得63kk2b1。5.3 用圖像交點(diǎn)和實(shí)際意義反向驗(yàn)證模型建模完成之后絕不能直接寫(xiě)答案交差。我要求學(xué)生必須做“反向檢查”把解析式放回原場(chǎng)景里看b是否符合“x0時(shí)的狀態(tài)”。在水費(fèi)的例子里x0時(shí)y12意思是不用水也要交12元基礎(chǔ)費(fèi)這個(gè)合理。再用一個(gè)實(shí)際值驗(yàn)證比如x3時(shí)y24即用3噸水需交24元和場(chǎng)景描述吻合。這種驗(yàn)證看起來(lái)是“浪費(fèi)時(shí)間的檢查”其實(shí)是在反復(fù)強(qiáng)化“式子與場(chǎng)景一一對(duì)應(yīng)”的意識(shí)。長(zhǎng)期訓(xùn)練之后學(xué)生在看到一個(gè)函數(shù)式時(shí)會(huì)自動(dòng)在腦子里浮現(xiàn)出對(duì)應(yīng)的生活場(chǎng)景反過(guò)來(lái)看到一段文字描述也會(huì)自動(dòng)提取出“哪一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)k哪一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)b”。這才是真正意義上的函數(shù)直覺(jué)。6. 一次函數(shù)與方程、不等式聯(lián)合作戰(zhàn)它的真正威力不在“函數(shù)”本身很多孩子學(xué)完一次函數(shù)就把它孤立在“函數(shù)章”里后面學(xué)方程和不等式時(shí)完全不想著用圖像幫忙。實(shí)際上一次函數(shù)是連接代數(shù)與幾何最重要的一座橋。尤其是到了初三復(fù)習(xí)階段一次函數(shù)與方程、不等式的綜合題幾乎每年都出現(xiàn)如果初二時(shí)就把這座橋搭好后面會(huì)省力很多。6.1 ykxb什么時(shí)候等于0方程問(wèn)題一個(gè)一次函數(shù)ykxb求“y0時(shí)x等于多少”這就是解一元一次方程kxb0的過(guò)程。幾何上看就是在問(wèn)“直線與x軸的交點(diǎn)在哪里”。很多學(xué)生學(xué)到后面會(huì)問(wèn)“為什么y2x4和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-2”因?yàn)榱顈002x4解出x-2。反過(guò)來(lái)如果題目問(wèn)“已知直線ykxb經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0)求關(guān)于x的方程kxb0的解”那就根本不用算交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是解。這種“圖像找解”的方法在選擇題里非常好用能顯著節(jié)省時(shí)間。6.2 兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)方程組問(wèn)題兩條直線yk?xb?和yk?xb?的交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)就同時(shí)滿足兩個(gè)解析式。所以求交點(diǎn)就是解由這兩個(gè)解析式構(gòu)成的二元一次方程組。這個(gè)結(jié)論本身不難但它的幾何意義非常深遠(yuǎn)兩條直線的位置關(guān)系平行、相交、重合完全由k和b決定。k?k?且b?≠b?兩條直線平行沒(méi)有交點(diǎn)方程組無(wú)解k?≠k?兩條直線相交有唯一交點(diǎn)方程組有唯一解k?k?且b?b?兩條直線重合有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)方程組有無(wú)窮多解課堂上可以用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系學(xué)生看完之后“一次函數(shù)與方程組”這個(gè)板塊基本就不用再愁了。我記得有個(gè)孩子看完動(dòng)態(tài)演示后自己總結(jié)了一句話“直線交點(diǎn)就是聯(lián)立方程的解”這句話精準(zhǔn)得讓我當(dāng)場(chǎng)給他鼓掌。6.3 ykxb“大于0”在圖像上是什么意思不等式問(wèn)題一次函數(shù)與不等式結(jié)合是另一大考點(diǎn)。比如解不等式kxb0等價(jià)于問(wèn)“當(dāng)x取什么范圍時(shí)直線位于x軸上方”?？粗鴪D像就能直接讀出答案只需要先求出直線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)再判斷交點(diǎn)的哪一側(cè)圖像在x軸上方。這個(gè)思想推廣到“函數(shù)值比較大小”如果題目問(wèn)什么時(shí)候y?y?就是問(wèn)直線L?在直線L?上方的x范圍關(guān)鍵是先求兩條直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)然后看交點(diǎn)左右兩側(cè)哪條線在上方。做這類題時(shí)我建議學(xué)生養(yǎng)成“先畫(huà)草圖后寫(xiě)過(guò)程”的習(xí)慣草圖讓你瞬間看破答案寫(xiě)過(guò)程只是把答案翻譯成規(guī)范的解題步驟。7. 八年級(jí)學(xué)生最容易踩的四個(gè)坑我逐個(gè)幫你拆掉教了這么多年數(shù)學(xué)我發(fā)現(xiàn)孩子們?cè)谝淮魏瘮?shù)和正比例函數(shù)這個(gè)板塊的錯(cuò)誤翻來(lái)覆去就那么幾種。如果你家里有正在學(xué)這部分的孩子以下四個(gè)坑請(qǐng)一定替他提前排掉。7.1 符號(hào)問(wèn)題b的正負(fù)和“截距”的正負(fù)y2x-3里的b是-3截距是-3直線與y軸交于點(diǎn)(0,-3)?？捎行┖⒆涌偸前呀鼐鄬?xiě)成3理由是“截距不是長(zhǎng)度嗎”。這個(gè)問(wèn)題我在前文提過(guò)這里必須再?gòu)?qiáng)調(diào)一次初中數(shù)學(xué)語(yǔ)境下的“截距”是坐標(biāo)值可正可負(fù)。不能因?yàn)樯罾铩熬嚯x”都是正的就默認(rèn)截距也是正的。讓孩子記住這個(gè)要點(diǎn)看到y(tǒng)kxbx0時(shí)的y值就是截距代入算一遍一了百了。7.2 正比例函數(shù)被誤判為“不是一次函數(shù)”判斷y0.5x到底是不是一次函數(shù)有些孩子會(huì)猶豫。猶豫的原因往往是覺(jué)得“它太簡(jiǎn)單了沒(méi)有b怎么能叫一次函數(shù)呢”。實(shí)際上恰恰相反b0時(shí)它依然滿足ykxb的形式只是b恰好為0而已。一次函數(shù)定義的核心是“x的最高次數(shù)為1”不是“必須有b”?？梢宰尯⒆幼约河靡粋€(gè)具體例子檢驗(yàn)y0.5x當(dāng)x3時(shí)y1.5滿足“每次x增加1y增加0.5”的固定變化率完全是一次函數(shù)的行為模式。為了強(qiáng)化這個(gè)點(diǎn)我還設(shè)計(jì)過(guò)一道對(duì)比題y3與y3x前者沒(méi)有x是常數(shù)函數(shù)不是一次函數(shù)后者有x且次數(shù)為1是正比例函數(shù)也是特殊的一次函數(shù)。兩個(gè)式子放在一起對(duì)比孩子很快就能抓住區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)。7.3 待定系數(shù)法時(shí)代入錯(cuò)位待定系數(shù)法最大的坑是把點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)代反了。比如點(diǎn)A(2,5)有些孩子手一抖就寫(xiě)成了52×bb把橫坐標(biāo)當(dāng)y這種錯(cuò)誤通常是“習(xí)慣性把x放右邊”導(dǎo)致的。規(guī)范操作是左手按住點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)右手按解析式y(tǒng)kxb——把x換掉橫坐標(biāo)把y換掉縱坐標(biāo)。每次代入前默念一遍“x代前面y代后面”失誤率可以降一大半。另外還要注意題目給的是“當(dāng)x2時(shí)y5”這種文字表述其實(shí)也是一組隱式坐標(biāo)(2,5)。文字和坐標(biāo)只是外殼不同本質(zhì)都是“給定一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)一個(gè)輸出”找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系就不會(huì)代錯(cuò)。7.4 畫(huà)圖像時(shí)取點(diǎn)太少直線畫(huà)歪規(guī)范畫(huà)一次函數(shù)圖像理論上兩個(gè)點(diǎn)就夠了兩點(diǎn)確定一條直線但實(shí)際操作里兩個(gè)孩子可能畫(huà)出兩條完全不同的“直線”。原因不是數(shù)學(xué)問(wèn)題而是取點(diǎn)計(jì)算錯(cuò)誤或者畫(huà)圖工具尺子沒(méi)有對(duì)齊。建議初學(xué)階段至少取三個(gè)點(diǎn)并且第三個(gè)點(diǎn)不要選在現(xiàn)有兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線上而是另選一個(gè)獨(dú)立點(diǎn)比如x-1、x0、x2三個(gè)位置。三個(gè)點(diǎn)能驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的一致性如果這三點(diǎn)能連成一條直線說(shuō)明計(jì)算大概率沒(méi)錯(cuò)如果明明三點(diǎn)共線卻畫(huà)成了折線那就是尺子沒(méi)對(duì)齊重畫(huà)就好。還有一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題很多孩子怕“點(diǎn)太少”一下子取十幾個(gè)點(diǎn)結(jié)果點(diǎn)與點(diǎn)之間離得太近連線稍一抖動(dòng)就彎彎曲曲。取點(diǎn)不是越多越好一般是5個(gè)點(diǎn)左右x取-2、-1、0、1、2覆蓋y軸兩側(cè)既能看清走向計(jì)算量也不大。畫(huà)圖時(shí)特別要注意坐標(biāo)軸的刻度必須均勻這是很多畫(huà)圖失分被忽略的元兇。8. 怎樣才算真正學(xué)會(huì)了一次函數(shù)用三個(gè)層級(jí)自測(cè)一下講了這么多定義、圖像和例題最終還是要回到“檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果”這個(gè)話題上。我發(fā)現(xiàn)孩子的掌握程度天然分成三個(gè)層級(jí)家長(zhǎng)和老師可以據(jù)此判斷他到底處于哪個(gè)階段再?zèng)Q定下一步怎么輔導(dǎo)。8.1 第一層級(jí)會(huì)算——能代值求結(jié)果這一層的能力要求是給一個(gè)解析式和若干x值能正確地算出對(duì)應(yīng)的y值給兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)能用待定系數(shù)法求出k和b。這屬于“基礎(chǔ)操作關(guān)”大部分孩子經(jīng)過(guò)一定量訓(xùn)練都能過(guò)關(guān)。如果孩子連這個(gè)都做不到說(shuō)明前面的運(yùn)算基礎(chǔ)出了問(wèn)題先別急著往上拔高回到有理數(shù)運(yùn)算和一元一次方程去查漏補(bǔ)缺。這一層級(jí)的判斷方法很簡(jiǎn)單拿10道現(xiàn)成的求解析式題每道必須在兩分鐘內(nèi)完成且正確率必須達(dá)到9成以上。如果達(dá)不到先不去攻克難題而是把基礎(chǔ)計(jì)算的熟練度提上來(lái)。函數(shù)本身就是建立在代數(shù)運(yùn)算之上的運(yùn)算一旦卡殼后面的圖像、應(yīng)用都會(huì)跟著崩。8.2 第二層級(jí)會(huì)看——能從圖像讀出信息這一層要求孩子拿到一條直線能迅速讀出斜率方向、陡緩、截距與y軸交點(diǎn)、零點(diǎn)與x軸交點(diǎn)還能大致判斷出當(dāng)x增大時(shí)y會(huì)增大還是減小。這個(gè)能力靠的是“看圖說(shuō)話”訓(xùn)練不涉及太多計(jì)算但要求孩子對(duì)k、b的幾何意義形成了自動(dòng)反射。我會(huì)在課堂上放出一組一次函數(shù)的圖像要求學(xué)生不計(jì)算、不列式只用眼睛看并在3秒內(nèi)說(shuō)出“k是正還是負(fù)、b是正還是負(fù)”。這個(gè)游戲孩子們玩得很嗨玩幾次之后看見(jiàn)圖像脫口而出的能力就建立起來(lái)了。這種能力在考試中的價(jià)值極大尤其是選擇題和填空題能幾秒鐘鎖定答案。8.3 第三層級(jí)會(huì)用——能從實(shí)際問(wèn)題到函數(shù)到?jīng)Q策最高層級(jí)是綜合應(yīng)用。給一個(gè)實(shí)際場(chǎng)景比如手機(jī)套餐選擇、出租車計(jì)費(fèi)、水池進(jìn)水排水孩子能自己設(shè)變量、建函數(shù)、畫(huà)圖像、比較不同方案最終給出決策建議。這其實(shí)是“數(shù)學(xué)建模”的雛形也是核心素養(yǎng)里強(qiáng)調(diào)的“用數(shù)學(xué)的眼光看世界”。比如一個(gè)經(jīng)典的套餐題A套餐月租18元通話每分鐘0.1元B套餐無(wú)月租通話每分鐘0.3元。問(wèn)通話多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)兩種套餐費(fèi)用相同這只要設(shè)通話x分鐘聯(lián)動(dòng)費(fèi)用y180.1x和y0.3x令二者相等解方程180.1x0.3xx90分鐘。再進(jìn)一步通過(guò)圖像可以看出通話超過(guò)90分鐘選A套餐劃算低于90分鐘選B套餐劃算。這個(gè)例子沒(méi)有任何超綱內(nèi)容但把所有核心知識(shí)點(diǎn)都串聯(lián)起來(lái)了。如果孩子能自己獨(dú)立走完這個(gè)過(guò)程那么一次函數(shù)這一關(guān)就算真正過(guò)掉了。9. 我的課堂小技巧讓一次函數(shù)“活”在生活里最后再分享幾個(gè)我在課堂上試過(guò)很多次的落地技巧方便你在家教或課堂輔導(dǎo)時(shí)直接用。第一個(gè)技巧是“找身邊的k和b”。讓孩子在家里尋找一次函數(shù)的實(shí)例比如手機(jī)話費(fèi)套餐、健身房卡費(fèi)、租車費(fèi)用。然后引導(dǎo)他說(shuō)出哪個(gè)數(shù)字是k、哪個(gè)數(shù)字是b再說(shuō)說(shuō)k和b分別代表什么樣的現(xiàn)實(shí)含義——k是“每單位變化的費(fèi)用”b是“基礎(chǔ)費(fèi)或起步價(jià)”。一旦孩子能把自己家的電費(fèi)單子翻譯成函數(shù)式他對(duì)函數(shù)的態(tài)度就從“怕”變成了“好玩”。第二個(gè)技巧是“圖像猜猜猜”。把幾個(gè)一次函數(shù)的圖像打印出來(lái)遮住解析式讓孩子看著圖像猜k是正還是負(fù)、b是正還是負(fù)、k的絕對(duì)值大約是多少。這個(gè)游戲不需要做任何計(jì)算但能在輕松的對(duì)話里把圖像直覺(jué)內(nèi)化。我記得有個(gè)孩子猜“這條線好陡k至少是3”結(jié)果一算確實(shí)是3他自己都驚了從那之后看圖像簡(jiǎn)直是“一眼準(zhǔn)”。第三個(gè)技巧是關(guān)于糾錯(cuò)本的我要求每個(gè)學(xué)生把函數(shù)章節(jié)的錯(cuò)題按“計(jì)算錯(cuò)誤、概念錯(cuò)誤、圖像錯(cuò)誤、理解錯(cuò)誤”分類。目的是讓他們意識(shí)到很多反復(fù)錯(cuò)的題根源其實(shí)就那么兩三個(gè)概念漏洞。比如“截距正負(fù)”“正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系”這兩個(gè)問(wèn)題一旦徹底搞清楚一張卷子上80%的函數(shù)題錯(cuò)誤都自動(dòng)消失了。分類比抄題重要得多。最后想說(shuō)的是一次函數(shù)和正比例函數(shù)并不難之所以很多孩子覺(jué)得難是因?yàn)樗堑谝淮谓佑|“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)”。從算術(shù)的靜態(tài)結(jié)果到函數(shù)的動(dòng)態(tài)對(duì)應(yīng)中間需要的不是記憶力而是一種“把場(chǎng)景翻譯成代數(shù)規(guī)則”的思維習(xí)慣。這種習(xí)慣一旦養(yǎng)成不只是初中數(shù)學(xué)受益將來(lái)學(xué)二次函數(shù)、反比例函數(shù)甚至高中函數(shù)都不過(guò)是同一套思維在不同規(guī)則上的延續(xù)。希望這篇文章能把孩子從這個(gè)坎上真正扶過(guò)去。