我去年做一塊模擬采集板的時(shí)候被采樣數(shù)據(jù)里的毛刺折磨了差不多一周。信號本身只有幾百毫伏但ADC出來的碼值總是抖頻譜上能看到大量幾十kHz到幾百kHz的開關(guān)噪聲。最開始我在ADC前端放了一個一階RC低通濾波器-3dB截止頻率取在100kHz附近感覺夠用了結(jié)果采樣后還是混入不少高頻分量。后來換成二階RC低通濾波器滾降斜率從20dB/dec變成了40dB/dec同樣容忍度下噪聲立刻被壓下去一截問題才算真正解決。這個經(jīng)歷讓我覺得二階RC低通濾波器值得專門寫一篇。它結(jié)構(gòu)簡單兩個電阻兩個電容就能搭但很多看起來合理的接法會在實(shí)際電路中“變味”截止頻率算不準(zhǔn)、Q值理解錯、級聯(lián)之間互相加載最后做出來的濾波效果和書本公式差得遠(yuǎn)。這篇文章我會從一階RC的局限講起推導(dǎo)二階RC的傳遞函數(shù)和關(guān)鍵參數(shù)再結(jié)合我在仿真和實(shí)測中踩過的坑給出ADC前端、電源濾波等場景下的設(shè)計(jì)方法和選型檢查清單。適合正在做信號調(diào)理、硬件濾波或者剛接觸模擬電路設(shè)計(jì)的工程師參考。1. 一階RC到底哪里不夠用20dB/dec的真相1.1 一階RC低通濾波器的傳遞函數(shù)和基本特性一階RC低通濾波器大家都不陌生一個電阻串聯(lián)在信號路徑上一個電容對地并聯(lián)輸出從電容兩端取。它的傳遞函數(shù)是H(s) 1 / (1 sRC)從頻率響應(yīng)角度看直流增益是0dB頻率升高后增益開始下降。-3dB截止頻率的經(jīng)典公式是fc 1 / (2πRC)超過截止頻率以后增益按每十倍頻程下降20dB也就是每增加10倍頻率幅度衰減為原來的十分之一。這個斜率聽起來不差但放到真實(shí)噪聲環(huán)境里往往不夠用。舉個我常用來和同事溝通的例子信號帶寬5kHz噪聲集中在50kHz一階RC在50kHz處只能提供大約20dB的衰減。如果噪聲源的幅值和信號差不多即便剩下來的十分之一噪聲對ADC轉(zhuǎn)換結(jié)果的干擾依然肉眼可見。更尷尬的是如果噪聲頻率只比信號高兩三倍一階RC連20dB都給不了幾乎處于“信號還沒衰減到位、噪聲也沒壓住”的折中狀態(tài)。1.2 一階RC在真實(shí)項(xiàng)目里讓我頭疼的三個場景場景一是ADC抗混疊。采樣率100kSPS時(shí)奈奎斯特頻率是50kHz高于50kHz的噪聲會折返到低頻直接影響測量精度。一階RC在50kHz處的衰減幅度取決于截止頻率怎么設(shè)如果把截止頻率壓低到10kHz50kHz處能衰減約35dB但必然犧牲10kHz以內(nèi)的信號平坦度如果把截止頻率抬高到50kHz高頻噪聲又只是勉強(qiáng)壓到-3dB附近混疊風(fēng)險(xiǎn)依然很大。一階RC只有一種斜率可用經(jīng)常陷入“保通帶還是保阻帶”的兩難。場景二是電源紋波濾除。開關(guān)電源的紋波通常集中在幾百kHz到幾MHz如果只靠一階RC想要在1MHz處獲得可觀的衰減必須把截止頻率壓得非常低隨之而來的直流壓降和輸出阻抗又會變得不可接受。這種場景需要的是“同樣的截止頻率下高頻衰減更快”的濾波器特性也就是更高階的濾波器。場景三是傳感器信號調(diào)理。傳感器輸出信號微弱疊加的工頻諧波或無線干擾又復(fù)雜一階RC的帶外抑制能力有限后面的儀表放大器和ADC輸入端得不到足夠的保護(hù)。我自己在實(shí)測中還發(fā)現(xiàn)一階RC在截止頻率附近其實(shí)不是“干脆利落地轉(zhuǎn)折”而是在0.1倍到10倍截止頻率區(qū)間內(nèi)緩慢過渡實(shí)際在2倍截止頻率處已經(jīng)大約衰減7dB左右有時(shí)候通帶損失比預(yù)期更早出現(xiàn)。所以當(dāng)系統(tǒng)需要更陡的滾降、更強(qiáng)的帶外抑制而又不想引入電感或者有源器件時(shí)二階RC低通濾波器就成了一個非常自然的選擇。2. 二階RC的兩種接法傳遞函數(shù)完全不同2.1 直接級聯(lián)與加緩沖級聯(lián)的電路差異二階RC低通濾波器最常見的電路是兩個RC節(jié)直接串聯(lián)第一節(jié)的R1和C1先形成一個低通節(jié)點(diǎn)這個節(jié)點(diǎn)的輸出再經(jīng)過R2和C2形成第二個低通節(jié)點(diǎn)。也就是Vin經(jīng)過R1后到達(dá)節(jié)點(diǎn)VxVx對地接C1Vx再經(jīng)過R2到輸出節(jié)點(diǎn)VoutVout對地接C2。另一種接法是中間加一個電壓跟隨器做緩沖第一節(jié)RC的輸出只負(fù)責(zé)驅(qū)動跟隨器的高阻抗輸入跟隨器再驅(qū)動第二節(jié)RC。很多初學(xué)者以為這兩種接法只是“多一個運(yùn)放而已”傳遞函數(shù)應(yīng)該差不多但實(shí)際計(jì)算結(jié)果差很多關(guān)鍵就在于第一節(jié)RC的輸出端有沒有被第二節(jié)RC的輸入阻抗加載。直接級聯(lián)時(shí)第二節(jié)RC會向第一節(jié)RC索取電流第一節(jié)的輸出節(jié)點(diǎn)電壓被拉低等效時(shí)間常數(shù)不再等于簡單的R1C1。緩沖級聯(lián)時(shí)第一節(jié)幾乎不帶負(fù)載兩個RC節(jié)可以看成獨(dú)立的兩個一階低通串聯(lián)。這兩種形式對應(yīng)的傳遞函數(shù)分母不同Q值和截止頻率也不同設(shè)計(jì)時(shí)必須先意識到這個區(qū)別。2.2 直接級聯(lián)的傳遞函數(shù)推導(dǎo)那個容易被忽略的“3”我貼一下直接級聯(lián)的推導(dǎo)過程方便后續(xù)參數(shù)計(jì)算。設(shè)兩個節(jié)點(diǎn)分別是Vx和Vout用電導(dǎo)電流關(guān)系寫節(jié)點(diǎn)方程(Vin - Vx)/R1 Vx·sC1 (Vx - Vout)/R2 (Vx - Vout)/R2 Vout·sC2從第二個式子可以解出Vx Vout·(1 sR2C2)帶進(jìn)第一個式子消去中間變量整理后得到H(s) Vout/Vin 1 / [1 s(R1C1 R1C2 R2C2) s2R1R2C1C2]這個分母看起來比兩個一階相乘復(fù)雜一些。如果把R1R2R、C1C2C代入分母會變成1 3sRC s2R2C2也就是說同值兩級RC直接級聯(lián)的傳遞函數(shù)是H(s) 1 / (s2R2C2 3sRC 1)很多資料直接寫“兩個一階相乘”然后得到分母是1 2sRC s2R2C2其實(shí)漏掉了中間節(jié)點(diǎn)被加載后的影響。系數(shù)3里的一個“1”來自C1的旁路作用另一個“1”來自C2的旁路作用“3”則是C1和C2共同作用的結(jié)果。這個系數(shù)會直接改變Q值后面細(xì)說。2.3 緩沖級聯(lián)為什么簡單卻會帶來新的工程問題如果中間插入電壓跟隨器隔離了兩個RC節(jié)傳遞函數(shù)就是兩個一階相乘H(s) 1 / [(1 sR1C1)(1 sR2C2)]同值時(shí)就是 1 / [(1 sRC)2]展開分母是1 2sRC s2R2C2。這個形式更接近很多人直覺中的“兩級一階疊加”計(jì)算也簡單。但工程上要付出代價(jià)。電壓跟隨器本身有輸入失調(diào)電壓、噪聲、帶寬限制和輸出驅(qū)動能力問題還會增加成本和PCB面積。更關(guān)鍵的是運(yùn)放輸出直接驅(qū)動R2和C2如果運(yùn)放帶寬不足在目標(biāo)頻率附近會出現(xiàn)額外的相位滯后甚至引入高頻振蕩。所以在低速、低成本、低噪聲的應(yīng)用里我通常優(yōu)先用直接級聯(lián)把電路簡化到極致只有在后級負(fù)載阻抗明顯影響濾波特性時(shí)才考慮加緩沖。3. 無源RC二階的Q值天花板為什么總是過阻尼3.1 Q值的物理直覺決定有沒有尖峰、轉(zhuǎn)折有多“軟”先明確Q值的物理意義。任何二階低通都可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形式H(s) 1 / [s2/ω02 s/(Q·ω0) 1]其中ω0是特征角頻率Q是品質(zhì)因數(shù)。Q越大頻率響應(yīng)在轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近越容易出現(xiàn)隆起轉(zhuǎn)折越“銳利”Q越小轉(zhuǎn)折越“圓潤”但通帶尾巴拖得越早實(shí)際-3dB點(diǎn)和特征頻率ω0差得越遠(yuǎn)。把直接級聯(lián)傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式可以得到ω0 1 / √(R1R2C1C2)Q √(R1R2C1C2) / (R1C1 R1C2 R2C2)對于兩個完全相同的RC節(jié)R1R2R、C1C2C帶進(jìn)去Q 1/3。這個Q值對應(yīng)的阻尼系數(shù)是ζ 1/(2Q) 1.5屬于典型過阻尼狀態(tài)頻響曲線沒有尖峰轉(zhuǎn)折點(diǎn)比理想二階濾波器更早開始下滑。3.2 為什么無源RC二階最多只能到Q0.5直接級聯(lián)的Q值有沒有可能調(diào)到0.707答案是否定的。為了說明這一點(diǎn)可以把分母里的三個時(shí)間常數(shù)分別設(shè)成aR1C1、bR2C2、cR1C2那么分子部分是√(ab)分母部分是abc。因?yàn)?ab) ≥ 2√(ab)所以Q √(ab)/(abc) ≤ √(ab)/(ab) ≤ 1/2也就是說無論怎么選電阻電容無源RC二階直接級聯(lián)的Q值都不可能超過0.5。緩沖級聯(lián)的兩個一階相乘令τ1R1C1、τ2R2C2同樣得到Q √(τ1τ2)/(τ1τ2)最大值也是0.5只有兩個時(shí)間常數(shù)相差很懸殊時(shí)才能盡量接近0.5。這個結(jié)論對設(shè)計(jì)很關(guān)鍵無源二階RC天生就是過阻尼或臨界阻尼它不可能像某些有源二階濾波器那樣在截止頻率附近產(chǎn)生“輕微隆起”來保持平坦通帶。如果你在資料里看到二階低通的Q0.707、巴特沃斯響應(yīng)之類那通常指的是有源濾波器或RLC濾波器不是兩級RC無源結(jié)構(gòu)。不要指望通過調(diào)整阻容比值讓二階RC變成巴特沃斯響應(yīng)。3.3 同值兩級RC的實(shí)際截止頻率到底是多少既然Q1/3實(shí)際幅頻響應(yīng)和“特征頻率f01/(2πRC)”的關(guān)系就需要重新算。同值直接級聯(lián)的幅頻響應(yīng)是|H(jf)|2 1 / [(1 - (f/f0)2)2 9(f/f0)2]令-3dB點(diǎn)對應(yīng)的頻率為f-3dB則解方程(1-x2)29x22其中xf/f0得到x≈0.374。也就是說同值兩級RC直接級聯(lián)的實(shí)際-3dB截止頻率只有單級特征頻率f0的0.374倍。舉個例子如果單片一階RC的R15.9kΩ、C1nF特征頻率f01/(2πRC)≈10kHz那么單級在10kHz處正好-3dB。但同樣的R和C直接級聯(lián)成兩級-3dB點(diǎn)會跑到約3.74kHz而不是10kHz。這在設(shè)計(jì)和調(diào)節(jié)電路時(shí)非常容易踩坑——我見過不少人按每級10kHz來選兩個相同的RC最后實(shí)測發(fā)現(xiàn)帶寬少了差不多一個低通轉(zhuǎn)折。緩沖級聯(lián)的情況稍好一些同值緩沖級聯(lián)的-3dB點(diǎn)是0.644f0但依然比f0低不少。想要最終截止頻率是10kHz同值直接級聯(lián)需要R·C≈5.96μs緩沖級聯(lián)需要R·C≈10.25μs兩者差別接近一倍設(shè)計(jì)方案不能混用。4. 仿真和實(shí)測對比指標(biāo)是怎么被“偷走”的4.1 仿真參數(shù)掃描同值兩級RC的真實(shí)響應(yīng)我在實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)會把仿真AC掃描和臺式儀器的實(shí)測結(jié)合起來。先搭一個直接級聯(lián)電路R1R25.9kΩC1C21nF理論R·C≈5.9μs目標(biāo)-3dB在10kHz附近。AC掃描從1kHz到1MHz讀出-3dB點(diǎn)確實(shí)在10kHz左右高頻斜率接近-40dB/dec這符合預(yù)期。接下來我故意按“錯誤但常見”的方式重做一版R1R215.9kΩ、C1C21nF原本期望每級10kHz、兩級總計(jì)10kHz掃描結(jié)果卻是-3dB點(diǎn)只有3.7kHz左右。這個仿真結(jié)果讓我意識到二級RC直接級聯(lián)時(shí)不能憑直覺把每一級的一階截止頻率當(dāng)作最終截止頻率必須先算出Q值和系數(shù)。還有個值得關(guān)注的細(xì)節(jié)同值直接級聯(lián)在f0處增益大約為1/3也就是-9.54dB。如果你在設(shè)計(jì)時(shí)把f0當(dāng)成了-3dB點(diǎn)實(shí)際在那個頻率看到的是接近-10dB的衰減信號損失遠(yuǎn)大于預(yù)期。我后來習(xí)慣把所有評估都建立在“最終-3dB點(diǎn)”上而不是特征頻率f0上。4.2 示波器探頭的輸入電容如何壓低截止頻率仿真和實(shí)測最大的差異之一來自示波器探頭。常規(guī)10倍無源探頭輸入電容大約在10pF到20pF這個電容并聯(lián)在濾波器輸出端相當(dāng)于和C2并聯(lián)。如果C2取的是1nF影響不大也就是把截止頻率壓低幾個百分點(diǎn)但如果為了高阻和低損耗把C2取到100pF左右探頭電容動輒15pFC2等效變成115pF電容值跳增15%截止頻率明顯偏移。我建議在測量高阻、小電容的RC濾波節(jié)點(diǎn)時(shí)要么用低容值有源探頭要么把測量點(diǎn)放在緩沖器后面要么就在PCB上預(yù)留一個專門的測試點(diǎn)避免探頭直接壓住濾波電容。否則你看到的“實(shí)測頻響”其實(shí)是“濾波器探頭電容”的復(fù)合響應(yīng)容易誤判設(shè)計(jì)有問題。4.3 電容介質(zhì)和PCB寄生參數(shù)的影響電容本身也不是理想的。常見的X5R、X7R陶瓷電容在承受直流偏壓時(shí)有效電容值會顯著下降有些型號在額定電壓一半時(shí)容量掉到標(biāo)稱值的60%甚至更低。信號調(diào)理電路中如果濾波電容兩端有直流偏置設(shè)計(jì)時(shí)留出的容值裕量必須足夠否則截止頻率會往高頻方向漂濾波效果打折。PCB布局的影響同樣不能忽視。濾波電容到地的回路如果走線太長寄生電感會在幾十MHz以上和電容形成諧振高頻段可能出現(xiàn)“先跌后升”的奇怪曲線。濾波節(jié)點(diǎn)下方如果有其他信號線還會引入額外寄生電容和串?dāng)_。我的經(jīng)驗(yàn)是濾波電容盡量靠近負(fù)載端地回路短而寬濾波電阻避免使用過長的蛇形走線保證噪聲不會從地回路重新耦合進(jìn)來。5. 按場景做二階RC低通ADC前端和電源紋波兩個實(shí)例5.1 ADC前端設(shè)計(jì)截止頻率、Q和輸出阻抗怎么平衡ADC前端加二階RC低通主要目的是抗混疊和抑制帶外噪聲。設(shè)計(jì)步驟我通常這樣走先確定信號通帶和需要抑制的噪聲頻段。假設(shè)信號帶寬10kHzADC采樣率100kSPS奈奎斯特頻率50kHz目標(biāo)在50kHz處至少衰減20dB。二階RC在50kHz處的真實(shí)衰減取決于截止頻率。如果我把最終-3dB點(diǎn)設(shè)在8kHz左右50kHz處大概能壓低20dB上下10kHz信號會有幾個dB的衰減對于一般測量還在可接受范圍。然后反推元件值。采用同值直接級聯(lián)目標(biāo)fc8kHz則R·C≈0.0596/8k≈7.45μs。如果C取1nFR取7.5kΩ左右。這里的0.0596來自前面算出的0.374/(2π)我至今會把系數(shù)記在筆記本上方便快速估算。最后核算源阻抗和負(fù)載阻抗。ADC內(nèi)部采樣開關(guān)在采樣瞬間會抽取電荷等效輸入阻抗不固定有時(shí)低到幾kΩ甚至幾百Ω這會直接改變第二級RC的負(fù)載狀態(tài)。如果ADC輸入阻抗明顯低于設(shè)計(jì)值最穩(wěn)妥的做法是在二階RC和ADC之間加一級緩沖或者把濾波器的R2選得遠(yuǎn)小于ADC等效輸入阻抗。但R2太小時(shí)前一級的C1會被過度加載阻值分配需要做幾次迭代。5.2 電源線上用二階RC紋波抑制和壓降的取舍無源RC濾波也能用在電源線上主要濾除電源紋波和高頻噪聲。這種場景最需要關(guān)注的是直流壓降因?yàn)榱鬟^負(fù)載的直流電流會在R1和R2上產(chǎn)生壓降導(dǎo)致負(fù)載端電壓低于源端。舉個例子一個3.3V供電軌負(fù)載電流10mA如果R1R250Ω那么兩個電阻上的總壓降是10mA×100Ω1V負(fù)載電壓只剩2.3V完全不可接受。所以帶負(fù)載的電源RC濾波串聯(lián)電阻必須很小通常幾十毫歐到幾歐或者只濾除很微弱的紋波。反過來說如果負(fù)載電流只有1mAR1R2100Ω總壓降0.2V依然偏高我會盡量用更小的電阻或者改用LC濾波。二階RC在電源場景的優(yōu)勢是能比一階多衰減高頻紋波但代價(jià)是壓降翻倍因?yàn)橐?lián)兩個電阻。我一般只在負(fù)載電流很穩(wěn)定、允許有固定壓降的場合使用比如給基準(zhǔn)電壓源、給傳感器激勵供電而不是給大電流數(shù)字核心供電。5.3 元件選型檢查清單我把每次做二階RC濾波時(shí)會檢查的項(xiàng)目列成清單供參考電阻確認(rèn)阻值容差和功率尤其電流較大時(shí)電阻自身發(fā)熱會改變阻值電容優(yōu)先選C0G/NP0其次X7R避免高直流偏置下容量大幅下降耐壓電容耐壓至少是實(shí)際工作電壓的1.5到2倍截止頻率是否用同值直接級聯(lián)的0.0596系數(shù)反推而不是簡單套單級公式負(fù)載效應(yīng)后級輸入阻抗是否遠(yuǎn)大于R2是否會導(dǎo)致截止頻率偏移布局濾波電容靠近負(fù)載端地回路短濾波節(jié)點(diǎn)下方盡量不鋪其他走線6. 一點(diǎn)個人習(xí)慣和延伸6.1 什么時(shí)候我會選三階RC或有源二階二階RC的滾降斜率是40dB/dec如果系統(tǒng)需要60dB/dec以上的帶外抑制我會優(yōu)先考慮三階RC。但三階RC直接級聯(lián)的負(fù)載效應(yīng)和Q值關(guān)系更復(fù)雜同值三階RC最終截止頻率相對單級特征頻率更低我通常采用逐級遞增阻抗的方式減小后級加載或者中間加緩沖器。如果想要平坦通帶的同時(shí)又能有尖銳截止二階RC本身做不到Q0.707級的巴特沃斯響應(yīng)我更傾向于換用運(yùn)算放大器構(gòu)成的有源二階低通比如常見的Sallen-Key結(jié)構(gòu)。運(yùn)放可以做到Q0.707甚至更高通帶內(nèi)更平坦代價(jià)是噪聲、電源和成本。無源二階RC適合“極低成本、低噪聲、對通帶平坦度要求不高”的場景有源二階適合“信號質(zhì)量優(yōu)先、不介意多幾個器件”的場景。6.2 我在實(shí)際項(xiàng)目中會堅(jiān)持的幾條設(shè)計(jì)習(xí)慣第一所有RC濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)都寫到硬件設(shè)計(jì)說明里寫清楚“目標(biāo)-3dB頻率、Q值、等效輸出阻抗、直流壓降”。這樣每次改版后回來查問題不需要重新翻圖紙。第二仿真只用來驗(yàn)證理論真正定型前一定用信號發(fā)生器和示波器做一次掃頻實(shí)測。信號發(fā)生器輸出固定幅度正弦波從低頻掃到高頻用示波器讀輸出幅度找到-3dB點(diǎn)。即使沒有網(wǎng)絡(luò)分析儀這個方法也足夠準(zhǔn)確。第三當(dāng)示波器探頭電容可能影響測量時(shí)我會先斷開負(fù)載測量節(jié)點(diǎn)電壓再接上真實(shí)后級電路看差異。很多看似“濾波器沒效果”的問題其實(shí)是后級負(fù)載把已濾波信號的余量又拉低或引入干擾不是濾波器本身的設(shè)計(jì)問題。二階RC低通濾波器是個基礎(chǔ)電路但正是因?yàn)樗盎A(chǔ)”反而容易被隨手一搭就完事。實(shí)際把系數(shù)算對、把Q值理解透、把負(fù)載和測量影響排除干凈后這個簡單電路能解決非常多麻煩。希望這篇文章能幫你在設(shè)計(jì)時(shí)少走我走過的那些彎路。