說(shuō)實(shí)話概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)里隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征這一章是最容易讓人產(chǎn)生我會(huì)了錯(cuò)覺(jué)的地方。公式屈指可數(shù)——期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)——怎么看都比前面的聯(lián)合分布、后面的參數(shù)估計(jì)輕量?？烧嫔狭丝紙?chǎng)丟分大戶往往就在這兒不是不會(huì)算而是算得零零碎碎、步驟不合規(guī)范、公式張冠李戴還有人一看到獨(dú)立和不相關(guān)就頭腦發(fā)懵。下面就直接拆成8大核心題型來(lái)聊離散型期望方差、連續(xù)型期望方差、隨機(jī)變量函數(shù)的期望、常見分布的數(shù)學(xué)特征、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩與中心矩、切比雪夫不等式。每種題型我都會(huì)講清楚三件事題目長(zhǎng)什么樣、用什么方法做、步驟怎么寫不會(huì)被扣分。這篇內(nèi)容適合正在備考考研數(shù)學(xué)數(shù)一、數(shù)三的同學(xué)、期末復(fù)習(xí)概率論的本科生以及想系統(tǒng)補(bǔ)一遍數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)的自學(xué)者。全程走題型識(shí)別→方法步驟→易錯(cuò)點(diǎn)→完整例題的路線你看完一道題就能會(huì)一類題。1. 數(shù)字特征在考綱里的真實(shí)權(quán)重為什么看著簡(jiǎn)單卻總丟分1.1 這一章到底考什么先把知識(shí)骨架擺出來(lái)。隨機(jī)變量的數(shù)字特征說(shuō)白了就是用幾個(gè)數(shù)來(lái)概括一個(gè)隨機(jī)變量。最基礎(chǔ)的是期望E(X)它是一階原點(diǎn)矩描述隨機(jī)變量的取值中心然后是方差D(X)它是二階中心矩描述取值圍繞期望的波動(dòng)幅度再往上兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系用協(xié)方差Cov(X,Y)和相關(guān)系數(shù)ρ刻畫。整章的邏輯鏈條非常清晰期望→方差→協(xié)方差→相關(guān)系數(shù)一個(gè)比一個(gè)復(fù)雜但全都建立在加權(quán)平均這個(gè)樸素觀念上。所以這一章的學(xué)習(xí)不能靠背題要靠一條線期望是所有數(shù)字特征的起點(diǎn)方差的本質(zhì)是E(X2)與[E(X)]2的差協(xié)方差的本質(zhì)是E(XY)與E(X)E(Y)的差。你只要把這三個(gè)期望算明白后面全部是套公式的機(jī)械操作。更重要的是數(shù)字特征不只獨(dú)立成題它還是整門課的計(jì)算底盤。后面學(xué)大數(shù)定律和中心極限定理需要期望和方差矩估計(jì)法直接要求一階矩和二階矩參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)里反復(fù)出現(xiàn)的正態(tài)分布其期望方差是最基本的信息。這一章練不熟后面每個(gè)章節(jié)都會(huì)跟著吃力?？佳袛?shù)學(xué)和期末考出題人心里清楚得很數(shù)字特征是大題的零件小題單獨(dú)考大題串著用。1.2 8大題型的識(shí)別與分工我把這些年真題和期末題里出現(xiàn)過(guò)的問(wèn)法做了個(gè)歸類8大題型的分工如下題型典型問(wèn)法核心方法易錯(cuò)程度題型一離散型隨機(jī)變量的E(X)、D(X)分布律列表逐項(xiàng)求和中等題型二連續(xù)型隨機(jī)變量的E(X)、D(X)對(duì)密度函數(shù)分段積分中高題型三隨機(jī)變量函數(shù)E[g(X)]、E[g(X,Y)]不重新求分布直接加權(quán)平均中等題型四常見分布的期望方差參數(shù)識(shí)別速查表較低題型五協(xié)方差Cov(X,Y)定義式或E(XY)-E(X)E(Y)中高題型六相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立與不相關(guān)判斷ρ計(jì)算獨(dú)立性定義高題型七矩與中心矩定義積分/方差公式反推中等題型八切比雪夫不等式已知期望方差估計(jì)概率范圍中等從考頻看題型四的小題幾乎白送題型一、二、三、五是大題主力題型六是區(qū)分度最高的概念題題型七、八屬于穩(wěn)拿分的進(jìn)階題。按這個(gè)優(yōu)先級(jí)分配復(fù)習(xí)時(shí)間比平均用力高效得多。2. 題型一、二離散型與連續(xù)型期望方差的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算流程2.1 離散型分布律是唯一的地基離散型的期望方差規(guī)矩就一條先把分布律寫對(duì)再動(dòng)手。我見過(guò)太多同學(xué)拿到題直接開始算期望結(jié)果分布律的概率和都沒(méi)檢查算出來(lái)的期望自然不對(duì)還找不到原因。來(lái)看一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)例題。設(shè)X的分布律為P{X-1}0.2P{X0}0.3P{X1}0.1P{X2}0.4。求E(X)和D(X)。標(biāo)準(zhǔn)解法分四步。第一步驗(yàn)證概率和為1。0.20.30.10.41正常。 第二步求期望E(X)(-1)×0.20×0.31×0.12×0.40.7。 第三步先求E(X2)E(X2)(-1)2×0.202×0.312×0.122×0.41.9。 第四步用方差簡(jiǎn)便公式D(X)E(X2)-[E(X)]21.9-0.721.41。這里有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)也是兩個(gè)經(jīng)典丟分點(diǎn)。第一E(X2)必須用xi2去乘pi而不是用xi乘pi之后再整體平方這兩者完全是兩回事。第二X0那一項(xiàng)在E(X)里乘以0可以忽略但我建議你在卷面上保留它。這能向閱卷老師傳遞一個(gè)信號(hào)你的分布律項(xiàng)目是全的。數(shù)學(xué)閱卷很多地方看的就是你有沒(méi)有意識(shí)到這一項(xiàng)存在。2.2 連續(xù)型分段密度函數(shù)的積分邊界連續(xù)型比離散型多一道坎積分。公式是E(X)∫xf(x)dxE(X2)∫x2f(x)dx。積分區(qū)間理論上是整個(gè)實(shí)數(shù)軸但因?yàn)槊芏群瘮?shù)通常只在某段非零實(shí)際積分區(qū)間會(huì)自然縮到密度不為零的部分。先來(lái)一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子。設(shè)X的密度為f(x)3x20x1其他為0。E(X)∫?1 x·3x2 dx3/4。 E(X2)∫?1 x2·3x2 dx3/5。 D(X)3/5-(3/4)23/80。是不是很簡(jiǎn)單但一旦密度函數(shù)分段情況就變了。再看一個(gè)三角形分布f(x)x0≤x1f(x)2-x1≤x≤2其他為0。先檢查歸一化∫?1 x dx1/2∫?2(2-x)dx1/2合計(jì)1。求期望E(X)∫?1 x·x dx∫?2 x·(2-x)dx1/32/31。E(X2)∫?1 x2·x dx∫?2 x2·(2-x)dx1/4[2x3/3-x?/4]?21/411/127/6。D(X)7/6-11/6。分段函數(shù)最坑的不是積分難而是寫區(qū)間。很多人把分界點(diǎn)x1寫重或?qū)懧?。注意密度函?shù)在個(gè)別點(diǎn)上的取值并不影響連續(xù)型概率和期望所以寫成0≤x1、1≤x≤2完全沒(méi)問(wèn)題關(guān)鍵是每一段里被積函數(shù)要對(duì)號(hào)入座。計(jì)算時(shí)把積分拆成各段再相加不要混在一起否則很容易出現(xiàn)符號(hào)和邊界錯(cuò)誤。2.3 兩個(gè)必須倒背如流的線性性質(zhì)不管離散還是連續(xù)下面兩條永遠(yuǎn)成立E(aXb)aE(X)b。 D(aXb)a2D(X)。注意第二條里的系數(shù)要平方。常數(shù)b對(duì)方差沒(méi)有任何貢獻(xiàn)因?yàn)樗黄揭品植疾桓淖儾▌?dòng)程度。常見錯(cuò)誤是寫D(3-2X)2D(X)正確寫法是D(3-2X)4D(X)。方差永遠(yuǎn)不可能是負(fù)數(shù)所以凡是算出負(fù)方差第一步就錯(cuò)了趕緊回頭重算。3. 題型三隨機(jī)變量函數(shù)的期望不重新求分布也能算3.1 一個(gè)可以合法偷懶的公式如果Yg(X)求E(Y)有兩條路線。路線一是先求出Y的分布律或密度函數(shù)再用定義算路線二直接用下面這個(gè)公式E[g(X)]Σg(xi)pi離散型E[g(X)]∫g(x)f(x)dx連續(xù)型。也就是說(shuō)你完全不需要知道Y的分布直接在X的概率結(jié)構(gòu)上對(duì)g(X)做加權(quán)平均就行。這就是常說(shuō)的無(wú)意識(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)家法則。為什么合法因?yàn)槠谕谋举|(zhì)就是按概率加權(quán)平均。g(X)取某個(gè)值對(duì)應(yīng)的事件就是X落入相應(yīng)取值集合其概率完全由X的分布決定。所以在X的樣本空間上直接加權(quán)和先求Y的分布再加權(quán)結(jié)果必然一致。舉個(gè)例子。設(shè)X服從(0,1)上的均勻分布求E(e^X)。直接算E(e^X)∫?1 e^x dxe-1≈1.718。如果非要先求Ye^X的密度Y∈(1,e)F_Y(y)P(X≤ln y)ln yf_Y(y)1/y再算E(Y)∫?^e y×(1/y)dye-1。結(jié)果一樣但路程遠(yuǎn)了一大截?？荚嚂r(shí)間有限能走捷徑必須走。3.2 二維函數(shù)的期望E(XY)是協(xié)方差的前哨站二維情形的公式是E[g(X,Y)]?g(x,y)f(x,y)dxdy連續(xù)型或二重求和離散型。考試?yán)镒畛？嫉木褪莋(X,Y)XY因?yàn)樗菂f(xié)方差的原材料。算E(XY)時(shí)離散型就老老實(shí)實(shí)列聯(lián)合分布律的每一項(xiàng)E(XY)ΣΣx_i y_j p_ij。連續(xù)型就做二重積分先對(duì)哪個(gè)變量積都行關(guān)鍵是積分區(qū)域和被積函數(shù)別漏特別是被積函數(shù)里的xy因子別丟掉。我見過(guò)不少同學(xué)把聯(lián)合密度積分出來(lái)等于1然后宣布這就是E(XY)——那分明是在算歸一化不是算期望。3.3 三個(gè)無(wú)條件成立的加減法這一小節(jié)是白送分的部分但也是很多人搞不清的部分。第一E(XY)E(X)E(Y)不管X和Y是否獨(dú)立都成立。只要單個(gè)期望存在加法就能拆。第二更一般的線性性E(aXbYc)aE(X)bE(Y)c同樣不需要任何獨(dú)立性條件。第三方差的加法是例外D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)。只有當(dāng)Cov(X,Y)0不相關(guān)獨(dú)立一定不相關(guān)時(shí)才退化成D(X)D(Y)。很多人把方差可加當(dāng)默認(rèn)結(jié)論遇到不獨(dú)立的題直接翻車。真題特別喜歡在第二、第三條上設(shè)置陷阱題目不說(shuō)明獨(dú)立性只給邊緣分布問(wèn)E(XY)可不可以算可以用第一條。問(wèn)D(XY)可不可以算不可以因?yàn)椴恢繡ov(X,Y)。這個(gè)區(qū)別必須刻在腦子里考場(chǎng)上能救命。4. 題型四常見分布的數(shù)學(xué)特征一套表和一串記憶鉤子4.1 期望方差速查表常見分布的數(shù)學(xué)特征屬于不背就虧的送分題每年必考。下表直接背分布記號(hào)概率函數(shù)/密度要點(diǎn)E(X)D(X)0-1分布B(1,p)P{X1}ppp(1-p)二項(xiàng)分布B(n,p)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)npnp(1-p)泊松分布P(λ)單位時(shí)間事件次數(shù)λλ幾何分布Ge(p)首次成功所需次數(shù)1/p(1-p)/p2均勻分布U(a,b)區(qū)間(a,b)上等可能(ab)/2(b-a)2/12指數(shù)分布Exp(λ)f(x)λe^{-λx}, x01/λ1/λ2正態(tài)分布N(μ,σ2)鐘形曲線μσ2記憶鉤子可以這么找泊松分布的期望和方差都是λ是唯一均值等于方差的重要分布指數(shù)分布的期望是參數(shù)的倒數(shù)參數(shù)越大、平均壽命越短二項(xiàng)分布是0-1分布重復(fù)n次的結(jié)果期望方差自然從p和p(1-p)后面各乘一個(gè)n。均勻分布的方差和區(qū)間長(zhǎng)度的平方成正比區(qū)間越寬離散程度越大。4.2 參數(shù)混淆的典型翻車現(xiàn)場(chǎng)指數(shù)分布是重災(zāi)區(qū)。同一個(gè)分布有的教材記作Exp(λ)密度λe^{-λx}期望1/λ有的教材記作E(θ)密度(1/θ)e^{-x/θ}期望θ。如果你只看記號(hào)不看密度就可能把1/λ和λ搞反。我的習(xí)慣是拿到指數(shù)分布的題先把密度寫出來(lái)看清楚參數(shù)是放在指數(shù)上還是分母上再寫期望。正態(tài)分布的方差記號(hào)也是坑。題里說(shuō)N(μ,σ2)那σ2就是方差σ是標(biāo)準(zhǔn)差。有些習(xí)題冊(cè)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙懗蒒(μ,σ)你得自己辨別如果題目說(shuō)方差是9就應(yīng)該寫成N(μ,9)而不是N(μ,3)。參數(shù)識(shí)別錯(cuò)了后面所有概率計(jì)算全部白費(fèi)。還有一個(gè)小結(jié)論方便排除選項(xiàng)二項(xiàng)分布的均值np總是大于方差np(1-p)泊松分布均值等于方差。做題時(shí)如果選項(xiàng)出現(xiàn)二項(xiàng)分布方差大于均值可以直接排除。4.3 反推參數(shù)的小題套路近幾年小題喜歡反過(guò)來(lái)考已知期望和方差反求分布參數(shù)。例題設(shè)X~B(n,p)且E(X)2D(X)1.5求n、p。列方程組np2np(1-p)1.5。兩式相除得1-p0.75所以p0.25n8。這種題只要把速查表背熟三分鐘就能拿下。均勻分布同理已知E(X)3、D(X)1/3由(ab)/23、(b-a)2/121/3可得a2、b4。能反推參數(shù)的題本質(zhì)上就是在考你對(duì)表格的熟練度。5. 題型五、六協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與獨(dú)立/不相關(guān)辨析5.1 協(xié)方差的計(jì)算定義式與簡(jiǎn)便式協(xié)方差的定義式是Cov(X,Y)E[(X-E(X))(Y-E(Y))]但考試?yán)飵缀醵加煤?jiǎn)便式Cov(X,Y)E(XY)-E(X)E(Y)。來(lái)一個(gè)完整例子。設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{X1,Y0}0.1P{X1,Y1}0.3P{X2,Y0}0.2P{X2,Y1}0.4。先算邊緣分布P{X1}0.4P{X2}0.6P{Y0}0.3P{Y1}0.7。然后E(X)1×0.42×0.61.6E(Y)0×0.31×0.70.7。再算E(XY)1×1×0.32×1×0.41.1。所以Cov(X,Y)1.1-1.6×0.71.1-1.12-0.02。注意協(xié)方差完全可以是負(fù)的負(fù)值表示兩個(gè)變量有反向變動(dòng)趨勢(shì)。這道題里X偏大時(shí)Y并不一定隨著變大所以協(xié)方差很小且為負(fù)這很符合直覺(jué)。協(xié)方差在運(yùn)算上有幾條性質(zhì)必須記牢Cov(X,X)D(X)一個(gè)變量和自己的協(xié)方差就是方差。Cov(aXb,cYd)ac·Cov(X,Y)平移不影響協(xié)方差系數(shù)要相乘。Cov(XY,Z)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)協(xié)方差對(duì)第一個(gè)變量具有線性可加性。對(duì)稱性Cov(X,Y)Cov(Y,X)。5.2 相關(guān)系數(shù)把協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化的線性相關(guān)指標(biāo)相關(guān)系數(shù)定義為ρ(X,Y)Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))。除以標(biāo)準(zhǔn)差的目的是消除量綱和尺度的影響把相關(guān)程度壓到[-1,1]區(qū)間。|ρ|越接近1說(shuō)明兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系越強(qiáng)ρ1表示存在YaXb且a0的嚴(yán)格正線性關(guān)系ρ-1表示嚴(yán)格負(fù)線性關(guān)系ρ0只說(shuō)明沒(méi)有線性關(guān)系不說(shuō)明沒(méi)有其他關(guān)系。接上面的例子繼續(xù)算D(X)E(X2)-[E(X)]2(1×0.44×0.6)-1.622.8-2.560.24。 D(Y)E(Y2)-[E(Y)]2(0×0.31×0.7)-0.720.7-0.490.21。 ρ-0.02/√(0.24×0.21)≈-0.089。相關(guān)系數(shù)很小說(shuō)明X和Y之間幾乎沒(méi)有線性關(guān)系。但請(qǐng)注意沒(méi)有線性關(guān)系不等于沒(méi)有關(guān)系很可能存在非線性關(guān)系。這一點(diǎn)正是下一小節(jié)的核心考點(diǎn)。5.3 獨(dú)立與不相關(guān)最經(jīng)典的考場(chǎng)陷阱邏輯關(guān)系只有一句話獨(dú)立推出不相關(guān)不相關(guān)推不出獨(dú)立。也就是說(shuō)獨(dú)立性是比不相關(guān)性更強(qiáng)的條件。獨(dú)立要求兩個(gè)變量的所有事件組合都滿足概率乘法公式而不相關(guān)只要求協(xié)方差為零兩者在一般情況下差得很遠(yuǎn)?？紙?chǎng)必背反例設(shè)X等可能取值-1、0、1令YX2。先算期望E(X)0E(Y)(1/3)×1(1/3)×0(1/3)×12/3。再算E(XY)E(X3)(-1)3×(1/3)03×(1/3)13×(1/3)0。所以Cov(X,Y)0-0×2/30不相關(guān)。但X與Y明顯不獨(dú)立因?yàn)镻{X1,Y1}1/3而P{X1}P{Y1}(1/3)(2/3)2/9兩者不等。這個(gè)反例必須爛熟于心。它告訴你兩件事一是不相關(guān)只是沒(méi)有線性關(guān)系二是判斷獨(dú)立性只能回到定義P{X∈A,Y∈B}P{X∈A}P{Y∈B}不能用相關(guān)系數(shù)替代。唯一的例外是二維正態(tài)分布。若(X,Y)服從二維正態(tài)分布則獨(dú)立等價(jià)于不相關(guān)。這是概率論給的福利題目只要出現(xiàn)二維正態(tài)和ρ0你就可以直接寫?yīng)毩蓚€(gè)字拿分。注意前提是聯(lián)合分布必須是二維正態(tài)僅僅兩個(gè)邊緣分布各自是正態(tài)是不夠的。6. 題型七、八矩、中心矩與切比雪夫不等式6.1 高階矩從定義出發(fā)別被高階嚇住矩就是期望的推廣。k階原點(diǎn)矩定義為α_kE(X^k)k階中心矩定義為μ_kE[(X-E(X))^k]。常見的特殊值α_1E(X)就是期望μ_10正負(fù)偏離相互抵消μ_2D(X)就是方差。三階中心矩反映分布的偏斜方向四階中心矩和峰度有關(guān)但考試階段只需要知道按定義算就行不會(huì)讓你解釋偏度系數(shù)。計(jì)算高階矩有兩條路。第一條是直接積分比如知道了X的密度f(wàn)(x)就老老實(shí)實(shí)算∫x^k f(x)dx。第二條更常用用期望和方差反推二階矩。很多題目直接給E(X)1、D(X)3讓你求E(X2)這時(shí)候用E(X2)D(X)[E(X)]2314一秒出答案根本不需要知道X的具體密度。再看一個(gè)例子。設(shè)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布求E(X2)。方法一分部積分兩次得到2/λ2。方法二E(X2)D(X)[E(X)]21/λ21/λ22/λ2。哪個(gè)快顯然是方法二。所以凡是題目里給了期望方差要算二階矩時(shí)優(yōu)先走方差公式這條捷徑。6.2 切比雪夫不等式只靠期望方差就能給概率劃界切比雪夫不等式說(shuō)的是對(duì)任意ε0都有P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε2。更常用的等價(jià)寫法是P{|X-E(X)|ε}≥1-D(X)/ε2。翻譯成人話就是不管X服從什么分布只要期望和方差存在隨機(jī)變量取值落在期望±ε范圍內(nèi)的概率至少是1-D(X)/ε2。它的價(jià)值在于完全不需要知道分布類型這在很多實(shí)際估計(jì)問(wèn)題里是唯一能用的工具。例題某課程成績(jī)X的均值為75分方差為16用切比雪夫不等式估計(jì)P{65X85}。65到85正好是75±10所以取ε10P{65X85}P{|X-75|10}≥1-16/1000.84。也就是說(shuō)不管成績(jī)分布長(zhǎng)什么樣落在65到85分之間的比例至少是84%。這個(gè)界是保守估計(jì)真實(shí)值通常比這個(gè)數(shù)字更大但至少兩個(gè)字就是切比雪夫不等式的核心價(jià)值。6.3 什么時(shí)候該用切比雪夫做題時(shí)看到只知道期望和方差估計(jì)概率下界對(duì)任意分布成立這些字樣基本就是切比雪夫的信號(hào)。還要提醒一句如果ε≤σ即ε2≤D(X)那么1-D(X)/ε2≤0不等式給出的是廢話題目一般會(huì)設(shè)計(jì)成εσ的情況。切比雪夫不等式在理論上還是證明大數(shù)定律的橋梁用它可以證明樣本均值依概率收斂于總體期望?？佳袛?shù)學(xué)的證明題偶爾會(huì)用到這條路徑所以它的意義不止一個(gè)小題。理解了用方差控制偏離概率這個(gè)思想后面學(xué)大數(shù)定律和中心極限定理都會(huì)順很多。7. 綜合題動(dòng)手練一道題串起6個(gè)核心考點(diǎn)7.1 題目與完整解答把前面講的重點(diǎn)串成一道綜合題。設(shè)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布令Y2X1。(1) 求E(X)、D(X)、E(Y)、D(Y) (2) 求Cov(X,Y)、ρ(X,Y) (3) 判斷X與Y是否獨(dú)立、是否相關(guān) (4) 用切比雪夫不等式估計(jì)P{|X-1/λ|2/λ}的下界。解答過(guò)程如下。(1) 指數(shù)分布直接查表E(X)1/λD(X)1/λ2。由線性性質(zhì)E(Y)2×(1/λ)12/λ1D(Y)22D(X)4/λ2。(2) 用協(xié)方差性質(zhì)Cov(X,Y)Cov(X,2X1)2Cov(X,X)2D(X)2/λ2。相關(guān)系數(shù)ρCov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))(2/λ2)/[√(1/λ2)×√(4/λ2)]1。(3) 因?yàn)閄和Y是嚴(yán)格的線性關(guān)系Y2X1所以ρ1X與Y完全正線性相關(guān)。既然Y由X唯一決定X和Y必然不獨(dú)立?？荚?yán)飳懄?故不獨(dú)立是給分的。(4) 切比雪夫不等式取ε2/λD(X)1/λ2所以P{|X-1/λ|2/λ}≥1-(1/λ2)/(4/λ2)3/4。對(duì)照一下真實(shí)概率指數(shù)分布下P{X3/λ}1-e^{-3}≈0.9502確實(shí)大于3/4。這個(gè)對(duì)照告訴我們切比雪夫給出的下界往往偏保守但它不需要知道分布類型這就是它不可替代的原因。7.2 從閱卷視角看這些步驟不能省我批改過(guò)不少試卷數(shù)字特征大題最忌寫完答案不寫過(guò)程。閱卷是踩點(diǎn)給分的你寫出由線性性質(zhì)E(Y)2E(X)1給一步的分寫出D(Y)4D(X)再給一步分就算最后數(shù)字算錯(cuò)前面步驟分還能保住大半。反過(guò)來(lái)只寫一個(gè)最終數(shù)字對(duì)了全分錯(cuò)了零分風(fēng)險(xiǎn)完全不對(duì)等。建議答題時(shí)把每一步的依據(jù)寫成一個(gè)短句比如由指數(shù)分布知E(X)1/λ由D(X)E(X2)-[E(X)]2得……。這既是給閱卷老師看的也是給自己檢查用的——寫出來(lái)之后運(yùn)算錯(cuò)誤更容易被自己發(fā)現(xiàn)。8. 寫在最后我批改作業(yè)時(shí)最心疼的三種錯(cuò)誤8.1 三種錯(cuò)誤背后的共同根源每年改作業(yè)、答疑翻來(lái)覆去就是那幾種錯(cuò)法。第一種分布律概率還沒(méi)加總等于1就開始算期望算出個(gè)錯(cuò)誤答案還反復(fù)檢查計(jì)算過(guò)程其實(shí)錯(cuò)在源頭。第二種把E(XY)E(X)E(Y)當(dāng)成萬(wàn)能公式到處用完全不看獨(dú)立性條件一道協(xié)方差大題從第一步就廢了。第三種D(aXb)a2D(X)的系數(shù)出錯(cuò)把22寫成2或者看到D(3-2X)就寫個(gè)負(fù)號(hào)——方差永遠(yuǎn)是正的出現(xiàn)負(fù)數(shù)說(shuō)明方向錯(cuò)了。這三種錯(cuò)誤有個(gè)共同根源只背了公式結(jié)論沒(méi)背公式的使用條件。數(shù)字特征這塊公式雖少但每個(gè)公式都有前提。E(XY)E(X)E(Y)需要獨(dú)立或不相關(guān)D(XY)D(X)D(Y)需要不相關(guān)切比雪夫不等式需要方差存在。你在整理筆記的時(shí)候一定要把公式條件捆綁記憶而不是孤零零抄一行公式。8.2 考前三天我建議你只做的一件事我自己當(dāng)年備考的時(shí)候有個(gè)笨但有效的習(xí)慣把8類題型各自整理5道典型題每道題不看答案、完整默寫解法步驟連續(xù)三天重復(fù)一遍。這個(gè)章節(jié)不需要海量刷題題目套路太固定了你把8個(gè)動(dòng)作練到肌肉記憶考前再翻一遍速查表拿分比花半個(gè)月攻參數(shù)估計(jì)穩(wěn)得多。最后再分享一個(gè)自查清單算完期望檢查是否落在取值范圍內(nèi)算完方差看是否為非負(fù)算完相關(guān)系數(shù)看是否在[-1,1]之間算完指數(shù)分布確認(rèn)參數(shù)是放在指數(shù)上還是分母上算完連續(xù)型積分看結(jié)果量級(jí)是否合理。這五條全部過(guò)一遍數(shù)字特征部分的題基本就不會(huì)因?yàn)榇中膩G分了。數(shù)學(xué)特征這章的價(jià)值就在確定性三個(gè)字上——它不像有些考點(diǎn)那樣靠靈感和運(yùn)氣你規(guī)范地寫它就穩(wěn)定地給分。